[論文レビュー] Variational generalization of free relativistic top

Roman Matsyuk|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2014

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、マシソン＝ピラーニの制約面において、一次の相対論的トップの運動方程式と三次のマシソン方程式の変分的同等性を確立する。平坦時空間における三次系のラグランジアンを構成することで、スピンに依存する有効な固有質量の連続スペクトルが得られ、すべての極値がスピンに依存する慣性質量を持つスピン粒子に対応することが明らかになる。これは、高次導関数を伴う変分原理によって、標準的な自由相対論的トップモデルを一般化するものである。

ABSTRACT

We prove that well known first-order (in spin, momentum, and space-time coordinates) equations of motion of relativistic top are equivalent to the third-order equations of Mathisson on the surface of the Mathisson-Pirani auxiliary constraint. We then consider these third-order equations in flat space-time with constant spin 4-vector and invent a Lagrange function for them. Allowing physical interpretation to be applied to the complete set of extremals yields a whole spectrum of spin-dependent effective 'proper mass' of the relativistic top.

研究の動機と目的

• マシソン＝ピラーニの制約面において、一次の相対論的トップの運動方程式と三次のマシソン方程式の同等性を証明すること。
• 一定のスピン4ベクトルを有する平坦時空間における三次方程式の運動の変分的ラグランジアンを構成すること。
• 変分系の全極値を、スピンの向きに依存する有効質量を持つスピン粒子の物理的軌道として解釈すること。
• 標準的な固有質量制約を緩和することで、スピンをパrameterとする連続的な固有質量スペクトルを許容する形で、標準的な自由相対論的トップモデルを一般化すること。

提案手法

• マシソン＝ピラーニの制約 (4) の下で、一次系 (1) と (2) から代数的および微分的変形を用いて三次方程式の運動を導出する。
• 制約 $ u_j S^{ij} = 0 $ 及びその微分を用いて運動量 $ P^i $ を消去し、$ u^i $ に関する三次方程式を得る。
• 3+1次元の平坦時空間における三次系のラグランジアン関数 $ L_{(k)} $ を、擬エュクリッド的3基底 $ \{ \mathbf{e}_{(k)} \} $ でパラメータ化して構成する。
• 高次導関数力学を扱うためにオストログラツキー形式を適用し、変分的一致性を保証する。
• 保存量 $ \mathbf{s} \cdot \mathbf{u} / \| \mathbf{u} \| $ を用いて有効質量 $ m = \mu \left(1 - \frac{(\mathbf{s} \cdot \mathbf{u})^2}{\|\mathbf{s}\|^2 \|\mathbf{u}\|^2} \right)^{3/2} $ を定義する。
• 変分系のすべての極値が、この有効質量を持つスピン粒子の軌道に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的トップの一次方程式の運動は、マシソン＝ピラーニの制約面において三次のマシソン方程式と数学的に同等であるか？
• RQ2 平坦時空間における自由相対論的トップの三次方程式の運動に、変分的ラグランジアンを構成できるか？
• RQ3 変分系の全極値から得られる物理的解釈、特にスピン粒子の有効質量に関しては何かが生じるか？
• RQ4 標準的な質量制約を緩和することで、スピンをパラメータとする連続的な有効質量スペクトルが得られるか？

主な発見

• 相対論的トップの一次方程式の運動は、マシソン＝ピラーニの制約面 $ u_j S^{ij} = 0 $ において、数学的に三次のマシソン方程式と同等である。
• 平坦時空間における三次系のラグランジアン関数が、擬エュクリッド的3基底の選択に依存する形で明示的に構成され、力学の変分的起源を裏付ける。
• 変分系の全極値は、有効固有質量 $ m = \mu \left(1 - \frac{(\mathbf{s} \cdot \mathbf{u})^2}{\|\mathbf{s}\|^2 \|\mathbf{u}\|^2} \right)^{3/2} $ を持つ物理的軌道に対応し、これはスピンの4速度に対する相対的向きに連続的に依存する。
• 変分系の全解空間には、連続的な有効質量スペクトルが含まれており、固定質量の場合を超えた標準的な相対論的トップモデルを一般化する。
• 有効質量の公式により、スピン4ベクトル $ \mathbf{s} $ が4速度 $ \mathbf{u} $ に対して一定の角度を保つことが保証され、保存量 $ \mathbf{s} \cdot \mathbf{u} / \| \mathbf{u} \| $ の保存則と整合的である。
• 変分的一致性の一般化は、保存量 $ \mathbf{s} \cdot \mathbf{u} / \| \mathbf{u} \| $ を『凍結』することに相当し、この緩和により物理的に整合性のあるスピンに依存する質量スペクトルが得られる。