[論文レビュー] Variational integrators of fractional Lagrangian systems in the framework of discrete embeddings

Loïc Bourdin, Jacky Cresson+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2016

Numerical methods for differential equations参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、離散埋め込みを用いて分数階ラグランジュ系の変分積分法を構築するフレームワークを提案し、離散レベルにおけるラグランジュ構造の保存を保証する。ガウス＝グリューンバルト＝レトニコフ埋め込みの整合性を示し、直接離散化スキームと離散ラグランジアン関数から導かれる変分積分法が一致することを示し、分数階オイラー＝ラグランジュ方程式に対する一貫性のある数値的手法をもたらす。

ABSTRACT

This paper is a summary of the theory of discrete embeddings introduced in [5]. A discrete embedding is an algebraic procedure associating a numerical scheme to a given ordinary differential equation. Lagrangian systems possess a variational structure called Lagrangian structure. We are specially interested in the conservation at the discrete level of this Lagrangian structure by discrete embeddings. We then replace in this framework the variational integrators developed in [10, Chapter VI.6] and in [12]. Finally, we extend the notion of discrete embeddings and variational integrators to fractional Lagrangian systems.

研究の動機と目的

• 古典的系から分数階ラグランジュ系への離散埋め込みおよび変分積分法の理論を拡張すること。
• 離散数値スキームが分数階ラグランジュ系の内在的な変分構造を保存することを保証すること。
• 直接埋め込みと変分離散化を統合することで、分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を解く一貫性のある数値手法を開発すること。
• 分数動力学の文脈において、ガウス＝グリューンバルト＝レトニコフ埋め込みの整合性を確立すること。

提案手法

• 連続的な微分方程式に、離散的軌道、離散微分、離散関数を対応付ける代数的写像として離散埋め込みを定義する。
• 分数階微分（順序α）の離散化にガウス＝グリューンバルト＝レトニコフ作用素を用い、後退（σ = −）および前向き（σ = +）の変種を含む。
• 連続的な分数階ラグランジアンに離散埋め込みを適用し、台形則と刻み幅hを用いて、離散分数階ラグランジアン関数を構築する。
• 離散関数の臨界点条件として、離散分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、変分的一致性を保証する。
• 直接離散埋め込みと変分積分法が同一の数値スキームをもたらすことを証明することで、整合性を確立する。
• 分数階ラグランジュ系（その変分原理および非対称分数階微分作用素下での対称性）へのフレームワークの適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散埋め込みの概念を、変分構造を保存する形で分数階ラグランジュ系へ拡張できるか？
• RQ2 離散埋め込みを用いて、分数階オイラー＝ラグランジュ方程式に対する一貫性のある数値スキームをどのように構築できるか？
• RQ3 ガウス＝グリューンバルト＝レトニコフ埋め込みは整合的であるか、すなわち、直接法と変分的離散化が同一の数値スキームをもたらすか？
• RQ4 非対称分数階微分（D^α_− と D^α_+）は、分数階系の離散的変分原理の定式化において果たす役割は何か？
• RQ5 ガウス＝グリューンバルト＝レトニコフ埋め込みから導かれる離散ラグランジアン関数は、連続的な分数階ラグランジアン関数とどのように関係するか？

主な発見

• ガウス＝グリューンバルト＝レトニコフ埋め込み（Gauss-GLEσ）は整合的であることが示され、直接離散スキームと離散ラグランジアン関数から導かれる変分積分法が一致する。
• 離散分数階オイラー＝ラグランジュ方程式（EL^σ,α_h）は、離散分数階ラグランジアン関数の臨界点条件として導出され、変分的一致性が保証される。
• 離散分数階ラグランジアン関数は ℒ^σ,α_h(Q) = h∑_{k∈I_σ} L(Q_k, (-σΔ^α_σ Q)_k, t_k) で与えられ、構造保存型の数値定式化を提供する。
• 本フレームワークにより、変分積分法が分数階ラグランジュ系へ自然に拡張され、離散レベルにおける内在的なラグランジュ構造が保存される。
• 非対称分数階微分（σ = ±）の使用により、離散的変分原理が連続系と対称的になる定式化が可能となり、連続系と一致する。
• 本手法は、最適制御、力学、物理学に現れる分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を解く一貫性があり、構造保存型の数値的アプローチを提供する。