[論文レビュー] Categorified Algebra and Equivariant Homotopy Theory

John D. Berman|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、対称モノイダルおよび半環∞カテゴリーを用いたカテゴリファイド代数的枠組みを構築し、カテゴリーを代数的対象として研究する。この枠組みにより、有限集合の半環圏 Fin における加群が cocartesian モノイダル ∞カテゴリーであり、Burn における加群が加法的 ∞カテゴリーであることが確立される。Lawvere理論は、循環的 Fin^op-加群として現れ、高次カテゴリーにおける代数的ヤオの補題を可能にする。また、群論的 Eilenberg-Watts 定理を提示し、ナード型と真の等変ホモトピー理論の間の形式的双対性の証拠を提供する。

ABSTRACT

This dissertation comprises three collections of results, all united by a common theme. The theme is the study of categories via algebraic techniques, considering categories themselves as algebraic objects. This algebraic approach to category theory is central to noncommutative algebraic geometry, as realized by recent advances in the study of noncommutative motives. We have success proving algebraic results in the general setting of symmetric monoidal and semiring infinity categories, which categorify abelian groups and rings, respectively. For example, we prove that modules over the semiring category Fin of finite sets are cocartesian monoidal infinity categories, and modules over Burn (the Burnside infinity category) are additive infinity categories. As a consequence, we can regard Lawvere theories as cyclic Fin^op-modules, leading to algebraic foundations for the higher categorical study of Lawvere theories. We prove that Lawvere theories function as a home for an algebraic Yoneda lemma. Finally, we provide evidence for a formal duality between naive and genuine equivariant homotopy theory, in the form of a group-theoretic Eilenberg-Watts Theorem. This sets up a parallel between equivariant homotopy theory and motivic homotopy theory, where Burnside constructions are analogous to Morita theory. We conjecture that this relationship could be made precise within the context of noncommutative motives over the field with one element. In fact, the connections equivariant homotopy theory and the field with one element recur throughout the thesis. There are promising suggestions that each of these two subjects can be advanced by further work in this area of algebraic category theory.

研究の動機と目的

• カテゴリファイド代数的構造を用いて、高次圏論の形式的代数的基盤を確立すること。
• Fin^op 上の加群としての構成を通じて、高次圏的設定における Lawvere理論の役割を調査すること。
• 群論的 Eilenberg-Watts 定理を用いて、ナード型と真の等変ホモトピー理論の間の双対性を確立すること。
• 等変ホモトピー理論と、1つの元の体 F1 上の非可換モチーフを結びつけること。
• Burnside ∞カテゴリーと有限集合の加群が、それぞれ加法的および cocartesian モノイダル構造をもたらすことを示すこと。

提案手法

• アーベル群や環のカテゴリファイド化に、対称モノイダルおよび半環 ∞カテゴリーを用いる。
• 有限集合の圏 Fin の半環圏における加群を分析し、それが cocartesian モノイダル ∞カテゴリーを形成することを示す。
• Burnside ∞カテゴリーにおける加群を研究し、それが加法的 ∞カテゴリーをもたらすことを証明する。
• Lawvere理論を Fin^op における循環的加群として表現し、高次カテゴリーにおける代数的ヤオの補題を可能にする。
• 等変ホモトピー理論における双対性をモデル化するための群論的 Eilenberg-Watts 定理を定式化する。
• モチービックホモトピー理論におけるモリタ理論と Burnside 構成の類似を描出し、非可換モチーフへのより深い関係を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カテゴリファイド代数的構造を通じて、カテゴリーを体系的に代数的対象として研究する方法は何か？
• RQ2 Fin^op 上の加群として定式化されたとき、高次圏的代数における Lawvere理論の役割は何か？
• RQ3 群論的 Eilenberg-Watts 定理を用いて、ナード型と真の等変ホモトピー理論の間の形式的双対性を確立できるか？
• RQ4 モジュール論を通じて、Burnside ∞カテゴリーと加法的 ∞カテゴリーの関係は何か？
• RQ5 等変ホモトピー理論と、1つの元の体 F1 上の非可換モチーフを統合する可能性は何か？

主な発見

• 有限集合の半環圏 Fin における加群が cocartesian モノイダル ∞カテゴリーであることが示された。
• Burnside ∞カテゴリーにおける加群が加法的 ∞カテゴリーであることが証明された。
• Lawvere理論が循環的 Fin^op-加群として特定され、高次カテゴリーにおける代数的ヤオの補題の定式化が可能になった。
• 群論的 Eilenberg-Watts 定理が確立され、ナード型と真の等変ホモトピー理論の間の形式的双対性の証拠が得られた。
• 構成から、モチービックホモトピー理論における Burnside 構成とモリタ理論の深い類似性が示唆された。
• 結果は、等変ホモトピー理論と、1つの元の体 F1 上の非可換モチーフが、この代数的圏論的枠組みを通じて統一可能であるという予想を支持する。