[論文レビュー] Varieties with generically nef tangent bundles

Thomas Peternell|ArXiv.org|Jul 7, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般にネフな接束を持つ多様体を調査し、反 canonical bundle がネフである多様体における一般ネフ性の強化を図るため、'十分にネフ'なベクトル束の概念を導入する。Fano 3次元多様体および反 canonical bundle が半正である多様体に対して、接束が一般にネフであり、十分にネフであることを証明し、このような多様体に対してアーベリアン写像が全射な部分多様体写像であるという予想を支持する。

ABSTRACT

We study the geometry of projective manifolds whose tangent bundles are nef on sufficiently general curves (i.e. the tangent bundle is generically nef) and show that manifolds whose anticanonical bundles are semi-ample have this property. Furthermore we introduce a notion of sufficient nefness and investigate the relation with manifolds whose anticanonical bundles are nef.

研究の動機と目的

• 接束の一般的および十分にネフ性の観点から、有理的被覆多様体および反 canonical bundle がネフである多様体を理解すること。
• 反 canonical bundle がネフである射影多様体の接束が、予想されるように一般にネフまたは十分にネフであるかどうかを調査すること。
• このような多様体に対してアーベリアン写像が全射な部分多様体写像であることを確立し、複素ケーラー幾何における既知の結果を一般化すること。
• 特に3次元において、有理的被覆多様体および Fano 多様体の接束の一般的正則性を証明すること。
• ケーラー幾何に依存せずに、被約型および安定性の技法を用いて滑らかでない状況への結果の拡張を図ること。

提案手法

• 任意の点を通る曲線の被覆族が存在する'十分にネフ'なベクトル束の定義を導入：一般の曲線成分において束がネフであることを意味する。
• Mehta-Ramanathan 理論を適用し、高次の正則線束による切り口として得られる MR-一般曲線への制限を通じて、一般ネフ性および正則性を分析する。
• Fano 3次元多様体（b₂ > 1）において、可動コーンの構造を解析するため、BCHM のコーン定理を用いる。
• h-最大部分層の概念と (K_X + det E) · h における正則性条件を用い、一般ネフ性が成立しない場合に矛盾を導く。
• [BP04] および [PS98] の分類に基づく3次元多様体のケース別分析を行い、半正でない、非半正、アーベリアン基底のケースを区別する。
• 半安定ベクトル束の理論および決定線束の正則性を用い、安定性仮定のもとで一般ネフ性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反 canonical bundle がネフである射影多様体の接束が、どのような条件下で一般にネフであるか？
• RQ2 有理的被覆多様体の接束は、その制限が正則であるような曲線族を有するか？
• RQ3 反 canonical bundle がネフである多様体に対して、アーベリアン写像は全射な部分多様体写像であるか？また、これは接束の十分にネフ性から従うか？
• RQ4 可動コーンの構造を用いて、b₂ > 1 である Fano 多様体の接束の一般的正則性を確立できるか？
• RQ5 特定の3次元多様体における半正則性の欠如が、接束の一般ネフ性にどのように影響するか？

主な発見

• b₂ > 1 である Fano 多様体に対して、接束は一般に正則（したがって十分に正則）である。これはコーン定理および安定性技法を用いて示された。
• −K_X が半正であるとき、T_X は一般にネフであり、十分にネフである。これは Conjecture 1.3 の一部を確認する。
• −K_X がネフだが半正でない3次元多様体では、T_X は一部の極化に対して一般にネフであるが、非半正なファイバー構造を持つ有理的被覆ケースを除いてはそうである。
• 反 canonical bundle が半正である多様体に対して、アーベリアン写像は全射な部分多様体写像である。これは T_X の十分にネフ性の結果として得られる。
• 有理的曲面および適切な正則線束に対して、接束は一般に正則であり、低次元における予想を支持する。
• 非半正なファイバーを持つ P¹ に沿った3次元多様体という例外ケースにおいても、ある極化に対して一般ネフ性は成立する。これは可動コーンにおける正則性の開性を用いて証明された。