[論文レビュー] Variety Membership Testing, Algebraic Natural Proofs, and Geometric Complexity Theory

Markus Bläser, Christian Ikenmeyer+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 47被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、3-テンソルのスライスランク ≤r またはミニランク ≤r であるかどうかを判定することはNP完全であることを示すことにより、テンソル複雑度における重要な代数的多様体であるスライスランク多様体およびミニランク多様体の属する判定問題のNP困難性を確立する。標準的な複雑度仮定の下で、これらの多様体に対して代数的自然証明の障壁を拡張し、表現論および行列式的手法を用いて幾何学的複雑度理論（GCT）が非自明な方程式を生成できることを示唆する。これは、パーマネント対行列式問題のような根本的な複雑度問題の解決にGCTが有用である可能性を示している。

ABSTRACT

We study the variety membership testing problem in the case when the variety is given as an orbit closure and the ambient space is the set of all 3-tensors. The first variety that we consider is the slice rank variety, which consists of all 3-tensors of slice rank at most $r$. We show that the membership testing problem for the slice rank variety is $\NP$-hard. While the slice rank variety is a union of orbit closures, we define another variety, the minrank variety, expressible as a single orbit closure. Our next result is the $\NP$-hardness of membership testing in the minrank variety, hence we establish the $\NP$-hardness of the orbit closure containment problem for 3-tensors. Algebraic natural proofs were recently introduced by Forbes, Shpilka and Volk and independently by Grochow, Kumar, Saks and Saraf. Bläser et al. gave a version of an algebraic natural proof barrier for the matrix completion problem which relies on $\coNP \subseteq \exists \BPP$. It implied that constructing equations for the corresponding variety should be hard. We generalize their approach to work with any family of varieties for which the membership problem is $\NP$-hard and for which we can efficiently generate a dense subset. Therefore, a similar barrier holds for the slice rank and the minrank varieties, too. This allows us to set up the slice rank and the minrank varieties as a test-bed for geometric complexity theory (GCT). We determine the stabilizers of the tensors that generate the orbit closures of the two varieties and prove that these tensors are almost characterized by their symmetries. We prove several nontrivial equations for both the varieties using different GCT methods. Many equations also work in the regime where membership testing in the slice rank or minrank varieties is $\NP$-hard. We view this as a promising sign that the GCT approach might indeed be successful.

研究の動機と目的

• 3-テンソルのスライスランク多様体およびミニランク多様体への属する判定問題の計算的困難性を確立すること。
• スライスランク多様体およびミニランク多様体に対して、代数的自然証明の枠組みを拡張し、coNP ⊆ ∃BPP の下で定義方程式を構成することは困難であることを示すこと。
• 幾何学的複雑度理論（GCT）が、属する判定問題がNP困難であるような状況においても、これらの多様体に対して非自明な方程式を生成できるかを調査すること。
• 生成テンソルの安定化部分群を特定し、それらがその対称性によってほぼ特徴づけられることを証明することで、GCTにおける表現論的ツールの使用を支援すること。

提案手法

• 既知のNP完全問題への帰着を用いて、3-テンソルのスライスランク ≤r であるかどうかを判定することはNP完全であることを示し、スライスランク多様体への属する判定問題のNP困難性を証明する。
• 一般化された行列完成問題を一般化する単一の軌道閉包としてのミニランク多様体を導入し、その属する判定問題がNP困難であることを証明する。
• Forbes, Shpilka, and Volk が提唱した代数的自然証明の障壁を、属する判定問題がNP困難であり、かつ効率的に生成可能な稠密な部分集合を持つ多様体に適応し、スライスランク多様体およびミニランク多様体の両方に対して障壁を確立する。
• 最高重みベクトルおよび多重度の上限を用いた表現論的技法を用いて、両多様体に対する非自明な方程式を導出する。
• 要約的に表現された大きな行列式や Koszulフラットネスを用いて、NP困難な領域でも成立する方程式を構成する。
• 安定化群の解析を用いて、両多様体の軌道閉包を生成するテンソルが、その対称性によってほぼ一意に特徴づけられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3-テンソルのスライスランク多様体への属する判定問題はNP困難か？
• RQ2 標準的な複雑度仮定の下で、代数的自然証明の障壁はスライスランク多様体およびミニランク多様体に拡張可能か？
• RQ3 属する判定問題がNP困難であっても、幾何学的複雑度理論（GCT）はスライスランク多様体およびミニランク多様体に対して非自明な方程式を生成できるか？
• RQ4 これらの多様体の軌道閉包を生成するテンソルは、その対称性によってほぼ特徴づけられるか？
• RQ5 最高重みベクトルや行列式に基づくフラットネスといった表現論的手法は、これらの多様体に対して方程式を導出できるか？

主な発見

• 3-テンソルのスライスランク多様体への属する判定問題はNP困難であり、テンソルのスライスランクがr以下であるかどうかを判定することは計算的に困難であることが示された。
• 単一の軌道閉包であるミニランク多様体への属する判定問題もNP困難であり、3-テンソルの軌道閉包包含問題がNP困難であることを示唆する。
• 代数的自然証明の障壁はスライスランク多様体およびミニランク多様体の両方に適用可能であり、coNP ⊆ ∃BPP が成り立たない限り、定義方程式を構成することは困難である。
• 両多様体の生成テンソルの安定化部分群が、テンソルをほぼ特徴づけることが示され、GCTにおける対称性に基づく手法の使用を支援する。
• 最高重みベクトル、Koszulフラットネス、および大きな行列式を用いて、NP困難な領域でも成立する非自明な方程式を両多様体に対して構成した。
• これらの方程式は任意の体上で有効であり、GCT手法が複雑度理論的多様体に対して意味のある不変量を生成できることを示している。