[論文レビュー] Velling-Kirillov metric on the universal Teichmuller curve

Lee-Peng Teo|ArXiv.org|Jun 19, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、変形領域 f^{tQ}(Δ) の球面面積の2次変動を用いて定義される、普遍テイヒュラー曲線上のヘルミート・ケーラー計量であるVelling-Kirillov計量を導入する。この計量のシンプレクティック形式の二乗の垂直積分が、普遍的および有限次元テイヒュラー空間上でのWeil-Peterssonシンプレクティック形式を与えることを証明する。

ABSTRACT

We extend Velling's approach and prove that the second variation of the spherical areas of a family of domains defines a Hermitian metric on the universal Teichmuller curve, whose pull back to Diff+(S^1)/S^1 coincides with the Kirillov metric. We show that the vertical integration of the square of the symplectic form of Velling-Kirillov metric on the universal Teichmuller curve is the symplectic form that defines the Weil-Petersson metric on the universal Teichmuller space. Restricted to a finite dimensional Teichmuller space, the vertical integration of the corresponding form on the Teichmuller curve is also the symplectic form that defines the Weil-Petersson metric on the Teichmuller space.

研究の動機と目的

• 変形領域の球面面積の2次変動を用いて、普遍テイヒュラー曲線上に自然なヘルミート・ケーラー計量を定義すること。
• Vellingの面積に基づく計量と、Diff+(S¹)/S¹ 上のKirillovの共軛軌道計量との間の関係を確立すること。
• Velling-Kirillov計量のシンプレクティック形式の二乗の垂直積分が、テイヒュラー空間上でのWeil-Petersson計量を回復することを示すこと。
• 普遍テイヒュラー曲線のファイバー上の積分を用いた、Weil-Petersson計量の新しい幾何的実現を与えること。

提案手法

• シュバルツィアンフロー下での領域 f^{tQ}(Δ) の球面面積の2階微分を用いて、Velling-Kirillov計量を定義する。
• 普遍テイヒュラー空間を A∞(Δ) に埋め込むBers埋め込みを用い、接ベクトルを正則な二次微分形式と同一視する。
• D̃ 内の単一関数を用いて、原点からの右不変性を用いて、普遍テイヒュラー曲線上の計量を構成する。
• ベクトル場展開 ∑n|cn|² を用いて、計量がケーラー的であり、かつ Diff+(S¹)/S¹ 上で Kirillov の計量と一致することを証明する。
• Velling-Kirillov計量のシンプレクティック形式 κ を定義し、p: T(1) → T(1) のファイバー上で垂直積分を行う。
• 得られる (1,1)-形式 ω が、H^{3/2} 接ベクトルに制限された Weil-Petersson シンプレクティック形式であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Vellingの普遍テイヒュラー空間上の面積に基づく計量は、普遍テイヒュラー曲線上に自然な計量として拡張可能か？
• RQ2 Velling-Kirillov計量を Diff+(S¹)/S¹ に引き戻すと、Kirillovの共軛軌道計量と一致するか？
• RQ3 Velling-Kirillov計量のシンプレクティック形式の二乗の垂直積分は、T(1) 上でのWeil-Petersson計量に等しいか？
• RQ4 この構成は、余有限なフクシアン群 Γ に付随する有限次元テイヒュラー空間に正しく制限されるか？

主な発見

• Velling-Kirillov計量は、普遍テイヒュラー曲線上に唯一の右不変性を持つヘルミート・ケーラー計量である。
• 計量の明示的公式は、A∞(Δ) 内の Q(z) = ∑_{n=2}^∞ (n³−n)a_n z^{n−2} に対して ‖Q‖_S² = ∑_{n=2}^∞ n|a_n|² である。
• Velling-Kirillov計量を Diff+(S¹)/S¹ に引き戻すと、ベクトル場 ∑c_n e^{inθ} ∂_θ に対して Kirillov の計量 ∑_{n=1}^∞ n|c_n|² と一致する。
• p: T(1) → T(1) のファイバー上で κ∧κ を垂直積分すると、H^{3/2} 接ベクトルに制限された Weil-Petersson シンプレクティック形式が得られる。
• 任意の余有限なフクシアン群 Γ に対して、Teichmüller曲線 F(Γ) 上での同じ垂直積分により、T(Γ) 上の Weil-Petersson シンプレクティック形式が回復される。
• 普遍テイヒュラー曲線は、Bers型埋め込みにより A∞(Δ) に埋め込まれ、その像は原点の近傍に開球を含む。