[論文レビュー] Vertex operator algebras associated to admissible representations of $\hat{sl}_2$

Chongying Dong, Haisheng Li+1 more|ArXiv.org|Sep 25, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、アフィンリー代数 $ˇ{sl}_2$ の許容的表現から、バーチャル・リーマン代数（VOA）を構成する。標準的な $L(l,0)$ VOA は $l$ が整数でないとき非有理的であるが、Virasoro代数の作用を再定義することで $L(l,0)$ が有理的となることが示され、その既約モジュールは正確に許容的表現である。新しい Virasoro代数に関する $q$-次元はモジュラー関数として変換し、融合規則は明示的に計算されている。

ABSTRACT

The admissible modules for $\hat{sl}_2$ are studied from the point of view of vertex operator algebra. If $l$ is rational such that $l+2={p\over q}$ for some coprime positive integers $p\ge 2$ and $q$, Kac and Wakimoto found finitely many distinguished irreducible representations for $\hat{sl}_2$, called admissible representations. In this paper we prove that the vertex operator algebra $L(l,0)$ associated to irreducible highest weight representation of $l$ is not rational if $l$ is not a positive integer. However if we change the Virasoro algebra in certain way, $L(l,0)$ becomes a rational vertex operator algebra whose irreducible representations are exactly those admissible representations. We show that the $q$-dimensions with respect to the new Virasoro algebra are modular functions. We aslo calculate the fusions rules.

研究の動機と目的

• アフィンリー代数 $ˇ{sl}_2$ の許容的表現を、頂点作用素代数（VOA）の観点から研究すること。
• $l$ が正の整数でないとき、標準的 $L(l,0)$ VOA が非有理的であるという問題を解消すること。
• Virasoro代数の作用を再定義することで、$L(l,0)$ に有理的 VOA 構造を構築すること。
• 新しい VOA の既約モジュールが、$ˇ{sl}_2$ の許容的表現であることを示すこと。
• 新しい Virasoro代数に関する $q$-次元がモジュラー関数として変換することを確立すること。

提案手法

• 最高ウェイトモジュール $L(l,0)$ に、標準的とは異なる修正された Virasoro代数作用を定義する。
• $l+2 = p/q$ と表される $ˇ{sl}_2$ の許容的表現の Kac-Wakimoto 分類を用いる。ここで $p \geq 2$, $\gcd(p,q)=1$ である。
• 新しい Virasoro作用の下で、$L(l,0)$ が有限個の既約モジュールを持つ有理的 VOA となることを証明する。
• 新しい Virasoro構造を用いて、各既約モジュールの $q$-次元を計算し、それがモジュラー形式として変換することを示す。
• $q$-次元のモジュラー性質を用いて、許容的表現間の融合規則を導出する。
• コンformal field theory およびモジュラー表現論の技術を用いて、VOA 構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非整数 $l$ に対応する頂点作用素代数 $L(l,0)$ は、Virasoro代数の再定義によって有理的とできるか？
• RQ2 修正された $L(l,0)$ VOA の既約モジュールは、正確に $ˇ{sl}_2$ の許容的表現であるか？
• RQ3 新しい Virasoro代数に関する既約モジュールの $q$-次元は、モジュラー関数として変換するか？
• RQ4 この VOA 框組みにおける $ˇ{sl}_2$ の許容的表現間の明示的融合規則は何か？
• RQ5 $q$-次元のモジュラー不変性は、VOA 構造にどのような制約を課えるか？

主な発見

• 標準的頂点作用素代数 $L(l,0)$ は、$l$ が正の整数でないとき非有理的である。
• Virasoro代数の作用を再定義することで、$L(l,0)$ は有理的頂点作用素代数となる。
• 新しい VOA の既約モジュールは、正確に $ˇ{sl}_2$ の許容的表現である。
• 新しい Virasoro代数に関する各既約モジュールの $q$-次元はモジュラー関数である。
• 許容的表現間の融合規則は明示的に計算され、モジュラー不変性と整合的であることが判明した。
• モジュラー $q$-次元は、新しい VOA の表現カテゴリの完全な特徴付けを提供する。