[論文レビュー] Very slow heating for weakly driven quantum many-body systems

Wojciech De Roeck, Victor Verreet|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Quantum many-body systems参考文献 50被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、互いに可換な項から成る時間依存ハミルトニアンを持つ弱い駆動力の作用を受ける量子多体系が、中間周波数であっても、非摂動的に小さい加熱率のため、極めてゆっくりと加熱することを証明している。主な結果は、摂動強度の超多項式的関数としての熱平衡化時間の厳密な上限であり、高周波近似や有効な時間不変ハミルトニアンに依存せずに、長期間にわたるプリススティック状態を確立するものである。

ABSTRACT

It is well understood that many-body systems driven at high frequency heat up only exponentially slowly and exhibit a long prethermalization regime. We prove rigorously that a certain relevant class of systems heat very slowly under weak periodic driving at intermediate frequency as well. This class of systems are those whose time-dependent, possibly translation-invariant, Hamiltonian is a weak perturbation of a sum of mutually commuting terms. This condition covers several periodically kicked systems that have been considered in the literature recently, in particular kicked Ising models. In contrast to the high-frequency regime, the prethermalization dynamics of our systems is in general not related to any time-independent effective Floquet Hamiltonian. Our results also have non-trivial implications for closed (time-independent) systems. We use the example of an Ising model with transversal and longitudinal field to show how they imply confinement of excitations. More generally, they show how "glassy" kinetically constrained models emerge naturally from simple many-body Hamiltonians, thus connecting to the topic of 'translation-invariant localization'.

研究の動機と目的

• 弱い駆動力の作用を受ける量子多体系が、摂動的境界を越えて極めてゆっくりと加熱するプリススティック状態を示す条件を確立すること。
• 駆動周波数が高くないにもかかわらず、基礎的なスペクトル的および動的制約のおかげで加熱率が非摂動的に小さい系を分析すること。
• プリススティック状態の出現が、時間不変有効ハミルトニアンに起因するのではなく、可換な項の時間順序付き時間発展演算子の構造に起因することを示すこと。
• 結果を静的系に拡張し、可換な局所的項が超多項式的に安定な保存則および出現する運動的制約をもたらすことを示すこと。
• 翻訳不変系におけるガラス的で運動的制約付きのダイナミクス（包含および準局所化を含む）の出現とこれらの発見を結びつけること。

提案手法

• 著者らは、ハミルトニアンの非対角項を段階的に除去する時間依存のシュリフェル＝ウルフ型変換を用い、有効ハミルトニアンの系列を構築している。
• 演算子 $ V_n $, $ D_n $, $ A_n $ を含む再帰的スキームを定義し、$ A_n $ が $ [A_n, H^0] + V_n = 0 $ を満たすように選ぶことで、主要な非可換部分をキャンセルしている。これはスペクトルギャップ構造を活用している。
• この手法は、元のハミルトニアン $ H^0 $ のボーリング周波数（エネルギー差）にディオファントス条件を課すことにより、共鳴項の抑制を実現する。
• 重み付きノルム $ orm{ullet}_{n} $ を用いたノルム推定が行われ、$ rac{1}{|m{J} m{m}|} $ によって減衰が制御され、ディオファントス条件 $ |m{J} m{m}| otin rac{x}{|m{m}|^ au} $ が小ささを保証する。
• 反復は有限な $ n_* hicksim rac{1}{ ext{poly}(g)} $ まで継続され、残存摂動の上限が得られ、系が初期状態から長期間にわたり近接していることが証明される。この時間は $ hicksim ext{exp}( ext{poly}(1/g)) $ に達する。
• 静的系の場合、同じ反復的手順を $ H = H^0 + gW $ に適用し、$ H^0 $ の保存則が小さな摂動下でも超多項式的に長期間にわたり存続することを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い駆動力の作用を受ける量子多体系において、駆動周波数が高くない場合でも、長期間にわたるプリススティック状態が出現しうるか？
• RQ2 ハミルトニアンにどのような構造的条件が満たされると、加熱が非摂動的にゆっくりになり、熱平衡化時間が $ 1/g $ の超多項式的関数となるか？
• RQ3 中間周波数領域において時間不変有効ハミルトニアンが存在しない場合でも、頑健なプリススティック状態メカニズムが成立しうるか？
• RQ4 翻訳不変ハミルトニアンにおける可換な局所的項が、準保存量および運動的制約の出現にどのように寄与するか？
• RQ5 このような系が、無秩序が存在しない場合でも、包含やガラス的ダイナミクスを示す程度はどの程度か？

主な発見

• 互いに可換な項から成る時間依存ハミルトニアンを持つ弱い駆動力の作用を受ける系の加熱率は、$ ext{exp}(-c ext{poly}(1/g)) $ で上限が与えられ、熱平衡化時間が $ 1/g $ の超多項式的関数であることを示唆する。
• プリススティック状態の持続は高周波近似がなくても成立し、時間不変有効ハミルトニアンによって支配されていない。
• 静的系の場合、準保存量 $ Q $ の数は $ ext{O}(1) $ であり、エネルギー差のディオファントス条件が成立する限り、その持続時間も $ 1/g $ の超多項式的関数として超多項式的に長期間にわたる。
• 横方向および縦方向のイジング模型において、可換構造 $ H^0 $ が局在化した励起状態をもたらすことで、運動的制約および包含の出現が示された。
• この手法により、初期状態からの状態のずれの厳密な上限が得られ、誤差は $ orm{V_{n_*}}_{n_*} hicksim ext{poly}( ext{log}(n_*)) n_*^{ au+q} imes (gT)^{n_*} $ で制御され、$ n_* hicksim ext{poly}(1/g) $ の範囲で小さく保たれる。
• ディオファントス条件が成立する確率は、$ au > q $ のとき $ 1 - C x $ で下から抑えられ、測度論的意味でこのような系が一般的であることが示唆される。