[論文レビュー] Virtual Cartier divisors and blow-ups

Adeel A. Khan, Rydh, David|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、有効カルティエ除集合の導来一般化としての仮想カルティエ除集合を導入し、中心が正則埋め込みでない場合でもブローアップの普遍性を保証する。導来代数幾何における擬滑らか閉埋め込みに対して導来ブローアップを構成し、ベイレ＝ファンテーチの内在的正規被覆を用いずに、仮想基本類の新たな、より単純な構成を与える。

ABSTRACT

We prove a universal property for blow-ups in regularly immersed subschemes, based on a notion we call "virtual effective Cartier divisor". We also construct blow-ups of quasi-smooth closed immersions in derived algebraic geometry.

研究の動機と目的

• 正則埋め込みを超えるブローアップの普遍性を仮想有効カルティエ除集合を導入することで一般化すること。
• 導来スキームおよび導来スタックの擬滑らか閉埋め込みに対して導来ブローアップを構成すること。
• ベイレ＝ファンテーチの内在的正規被覆を避ける、仮想基本類の新たな、簡略化された構成を提供すること。
• 仮想カルティエ除集合を用いてヴェルディエの正規被覆への変形の導来版を確立すること。
• 擬滑らか有限分岐なし準同型を用いた複数の中心へのブローアップの一般化。

提案手法

• 仮想余次元1を記憶する導来構造を備えた閉部分スキームとして仮想有効カルティエ除集合を定義し、局所的に1つの方程式で定義される。
• 導来テンソル積とコシュール複体を用いて、導来代数幾何における正規列および擬滑らか埋め込みを特徴付ける。
• 与えられた中心上の局所的仮想カルティエ除集合をパラメトライズする関手を代表する導来代数的空間として導来ブローアップを構成する。
• 導来ブローアップが固有かつ擬滑らかであり、導来基底変換と可換であることを証明する。
• 普遍性の確立：$X$-準同型は$(X,Z)$上の仮想有効カルティエ除集合とちょうど一対一に対応する。
• ワイエル制限とファイバー積を用いて、中心の直和やエタール基底変換へのブローアップの一般化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来構造を用いて、正則でない中心に対してもブローアップの普遍性をどのように拡張できるか。
• RQ2 仮想カルティエ除集合は、導来代数幾何における仮想基本類の新たな、より単純な構成を可能にするか。
• RQ3 中心が擬滑らか有限分岐なし準同型であるとき、導来ブローアップの構造はいかなるものか。
• RQ4 導来ブローアップは基底変換およびファイバー積においてどのように振る舞うか。
• RQ5 複数の中心における同時にブローアップは、仮想カルティエ除集合を用いてどのように構成され、特徴付けられるか。

主な発見

• 中心$Z \to X$が擬滑らか有限分岐なし準同型であるとき、導来ブローアップ$\mathrm{Bl}_Z X$は導来代数的空間によって代表可能である。
• 導来ブローアップは任意の導来基底変換と可換であり、引き戻しにおいても整合性を保つ。
• $\mathrm{Bl}_Z X$上の普遍的局所仮想カルティエ除集合は、$\mathbf{P}_Z(\mathcal{N}_{Z/X})$と$\mathrm{Bl}_W Z$の導来ファイバー積に同型である。ただし$W = Z \times^\mathbf{R}_X Z \setminus Z$。
• $\pi_{Z/X}: \mathrm{Bl}_Z X \to X$の構造的準同型は、固有かつ擬滑らかである。
• 直和$Z = Z_1 \amalg Z_2$に対して、$\mathrm{Bl}_Z X = \mathrm{Bl}_{Z_1} X \times^\mathbf{R}_X \mathrm{Bl}_{Z_2} X$が成り立ち、分解と整合する。
• 準同型$g: X \to Y$がエタールで、$Z \to X \to Y$が有限であるとき、$\mathrm{Bl}_Z Y$はワイエル制限$g_* \mathrm{Bl}_Z X$に一致する。