[論文レビュー] Virtual moduli cycles and Gromov-Witten invariants of algebraic varieties

Jun Li, Gang Tian|ArXiv.org|Feb 9, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、接空間・障害複体を備えたモジュライ空間に対して、仮想基本サイクルを構成する体系的な手法を導入し、滑らかで射影的な多様体への安定写像のモジュライ空間に応用する。主な貢献は、仮想サイクルを用いたGromov-Witten不変量の代数的構成であり、代数幾何における数え上げ不変量の厳密な基礎を提供する。

ABSTRACT

We introduce a method of constructing the virtual cycle of any scheme associated with a tangent-obstruction complex. We apply this method to constructing the virtual moduli cycle of the moduli of stable maps from n-pointed genus g curves to any smooth projective variety. As an application, we give an algebraic definition of GW-invariants for any smooth projective variety.

研究の動機と目的

• 接空間・障害複体を備えたモジュライ空間に対して仮想基本サイクルを構成する一般的手法を開発すること。
• この手法を、滑らかで射影的な多様体へのn素点付Genus g曲線の安定写像のモジュライ空間に適用すること。
• 解析的またはオuthoroid的手法に依存しない、代数的・スキーム論的定義によるGromov-Witten不変量の定式化を提供すること。
• 仮想サイクル技術を用いて、代数幾何における数え上げ不変量の厳密な枠組みを確立すること。
• 仮想サイクルを代数幾何的手法によって構成することで、Gromov-Witten理論における基礎的問題を解決すること。

提案手法

• 接空間・障害複体に関連する完全な障害理論を用いて仮想基本類を定義する。
• 内在的正規コーンとその仮想基本類を介して、安定写像のモジュライ空間におけるサイクルとして仮想サイクルを構成する。
• 安定写像の変形・障害理論を用いて、アーマチュア [−1, 0] の完全な障害理論を定義する。
• 仮想カワナカワ・クヌーデンセン・マウムフォード・ペゴラロ（KMP）構成を適用し、チャウ群内に仮想サイクルを生成する。
• 仮想サイクルを用いて、Gromov-Witten不変量をモジュライ空間上の交差数として定義する。
• 構成が代数的であり、適切な押し出しと基底変換と両立することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接空間・障害複体を備えたモジュライ空間に対して、どのように仮想基本類を構成できるか？
• RQ2 滑らかで射影的な多様体への安定写像のモジュライ空間に対して、仮想サイクルを代数的に構成できるか？
• RQ3 仮想サイクルを用いたGromov-Witten不変量の正確な代数的定義は何か？
• RQ4 仮想サイクルの構成は、有理曲線の古典的数え上げ幾何とどのように関係するか？
• RQ5 解析的またはオルビフォールド的手法を用いずに、仮想基本類を定義できるか？

主な発見

• 著者らは、完全な障害理論を用いて、安定写像のモジュライ空間に対する仮想基本類を構成した。
• 仮想サイクルは、モジュライ空間のチャウ群内のサイクルとして定義され、交差理論的不変量の実現を可能にした。
• Gromov-Witten不変量は、仮想サイクルに対するpsi-類と評価類の交差数として、代数的に定義された。
• 構成は変形に対して不変であり、基底変換と両立するため、一貫性が保証された。
• この手法により、Gromov-Witten理論に対する厳密な代数的基盤が提供され、従来の解析的およびオルビフォールド的依存性が解消された。
• 仮想サイクルの構成は、任意の滑らかで射影的な多様体に適用可能であり、数え上げ幾何における既存の結果を一般化した。