[論文レビュー] Virtual persistence diagrams, signed measures, and Wasserstein distance

Peter Bubenik, Alex Elchesen|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2020

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の距離空間上でのパーシステンス図とラドン測度のための整合性のあるワサーティン距離を導入し、1-ワサーティン距離を仮想パーシステンス図と符号付き測度へと拡張する。ワサーティン距離におけるパーシステンス図のコーシー完備化を特徴づけ、最適輸送とトポロジカルデータ解析の枠組みを一般化する。

ABSTRACT

Persistence diagrams, an important summary in topological data analysis, consist of a set of ordered pairs, each with positive multiplicity. Persistence diagrams are obtained via Mobius inversion and may be compared using a one-parameter family of metrics called Wasserstein distances. In certain cases, Mobius inversion produces sets of ordered pairs which may have negative multiplicity. We call these virtual persistence diagrams. Divol and Lacombe recently showed that there is a Wasserstein distance for Radon measures on the half plane of ordered pairs that generalizes both the Wasserstein distance for persistence diagrams and the classical Wasserstein distance from optimal transport theory. Following this work, we define compatible Wasserstein distances for persistence diagrams and Radon measures on arbitrary metric spaces. Furthermore, we show that the 1-Wasserstein distance extends to virtual persistence diagrams and to signed measures. In addition, we characterize the Cauchy completion of persistence diagrams on metric spaces with respect to the Wasserstein distances.

研究の動機と目的

• パーシステンス図から任意の距離空間上のラドン測度へとワサーティン距離を一般化すること。
• 負の重みを含む仮想パーシステンス図へと1-ワサーティン距離を拡張すること。
• ワサーティン距離におけるパーシステンス図の空間のコーシー完備化を特徴づけること。
• 共通の距離枠組みを通じて、トポロジカルデータ解析と最適輸送理論を統合すること。

提案手法

• 最適輸送の原則を用いて、任意の距離空間上でのパーシステンス図とラドン測度のための整合性のあるワサーティン距離を定義する。
• 半平面上のラドン測度の理論を活用し、標準的なパーシステンス図を超えたワサーティン距離の一般化を図る。
• 最適輸送の双対形式を適応することで、符号付き測度および仮想パーシステンス図への1-ワサーティン距離の拡張を行う。
• 測度と連続関数の双対性を用いて収束性および完備性の性質を確立する。
• ラドン測度の理論を応用し、ワサーティン距離におけるパーシステンス図のコーシー完備化を特徴づける。
• 双対性と距離の拡張を通じて、古典的ワサーティン距離を符号付きおよび仮想測度へと一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パーシステンス図と任意の距離空間上のラドン測度に対して、どのように一貫したワサーティン距離を定義できるか？
• RQ2 1-ワサーティン距離は、負の重みを含む仮想パーシステンス図へどのように拡張されるか？
• RQ3 1-ワサーティン距離におけるパーシステンス図の空間のコーシー完備化は何か？
• RQ4 提案された枠組みは、どのようにしてトポロジカルデータ解析と最適輸送理論を統合するか？
• RQ5 1-ワサーティン距離を備えた符号付き測度の空間の構造的および位相的性質は何か？

主な発見

• 1-ワサーティン距離は仮想パーシステンス図と符号付き測度へと拡張され、標準的なパーシステンス図を超えた距離比較を可能にする。
• パーシステンス図と任意の距離空間上のラドン測度のための整合性のあるワサーティン距離が定義され、既存の枠組みを一般化する。
• 1-ワサーティン距離におけるパーシステンス図の空間のコーシー完備化は、半平面上のラドン測度の空間によって特徴づけられる。
• 両者を共通の距離構造に埋め込むことで、トポロジカルデータ解析と最適輸送が統合される。
• 双対性および完備性の性質が保存され、理論的および応用的用途において堅牢性が保証される。