[論文レビュー] Virtual pull-backs

Cristina Manolache|arXiv (Cornell University)|May 14, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、完全な相対的障害理論を備えた代数的スタックのDM型準同型に、Gysin写像の一般化として仮想プルバックを導入する。関手的性質を確立し、ブロー・アップおよび射影バンドルのGromov-Witten不変量の計算に応用する。

ABSTRACT

We propose a generalization of Gysin maps for DM-type morphisms of stacks $F o G$ that admit a perfect relative obstruction theory $E_{F/G}^{\bullet}$, which we call a pull-back. We prove functoriality properties of virtual pull-backs. As applications, we analyze Gromov-Witten invariants of blow-ups and projective bundles.

研究の動機と目的

• 完全な相対的障害理論を備えたスタックのDM型準同型に対して、Gysin写像を仮想プルバックを用いて一般化すること。
• 合成および基底変換の下で仮想プルバックの関手的性質を確立すること。
• ブロー・アップおよび射影バンドルを含む幾何的状況におけるGromov-Witten不変量の計算のための枠組みを提供すること。
• 完全な相対的障害理論を備えたスタックへの交差理論の技法を拡張すること。

提案手法

• DM型準同型 $F \to G$ 上の完全な相対的障害理論 $E_{F/G}^{\bullet}$ を用いて仮想プルバックを定義する。
• 仮想クラスの理論を用いて、チャウ群への写像として仮想プルバックを構成する。
• 完全な障害理論の文脈において、基底変換および合成の公式を用いて関手的性質を証明する。
• 変形理論的技法を用いて、ブロー・アップおよび射影バンドル上の仮想クラスの明示的計算に形式的枠組みを応用する。
• スタックの設定における過剰交差公式および仮想正規被覆の構成を活用する。
• プッシュフォワードや交差積などの操作と仮想プルバックの整合性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な相対的障害理論を備えたスタックのDM型準同型に対して、Gysin写像はどのように一般化できるか？
• RQ2 基底変換および合成の下で、仮想プルバックはどのような関手的性質を満たすか？
• RQ3 仮想プルバックは、スタックのブロー・アップのGromov-Witten不変量をどのように計算に用いることができるか？
• RQ4 完全な障害理論を備えたスタック上の射影バンドルにおける仮想クラスの構造はいかなるものか？
• RQ5 仮想プルバック形式的枠組みは、数え上げ幾何学における幾何的不変量を解消できるか？

主な発見

• 完全な相対的障害理論 $E_{F/G}^{\bullet}$ を備えたDM型準同型 $F \to G$ に対して、仮想プルバックは適切に定義される。
• 仮想プルバックは基底変換公式を満たし、ファイバー積と整合的であることが保証される。
• 準同型の合成の下で構成が関手的であり、古典的なGysin写像を拡張する。
• 形式的枠組みにより、スタックのブロー・アップにおけるGromov-Witten不変量の明示的計算が可能になる。
• 仮想プルバックは、スタック上の射影バンドルにおける仮想クラスを体系的に計算する手法を提供する。
• 結果として、完全な相対的障害理論を備えた代数的スタックの文脈に、古典的な交差理論的道具を一般化する。