[論文レビュー] Volterra calculus, local equivariant family index theorem and equivariant eta forms

Yong Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、グリーナーの熱核漸近展開とボルテラ積分作用素の理論を用いて、局所的等変族インデックス定理および等変エータ形式の正則性に関する新しい証明を提供する。また、トレース推定と作用素の共役化技術を用いて、等変族JLO特性を計算し、等変エータ形式の適切な定義と正則性を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we give proofs of the family index formula and the equivariant family index formula by the Greiner's approach to heat kernel asymptotics. We compute equivariant family JLO characters. We also define the equivariant eta form and give a proof of its regularity.

研究の動機と目的

• Pongeの手法とグリーナーの熱核漸近展開を用いて、ディラック作用素族の局所インデックス定理の新しい証明を提供すること。
• グリーナーの熱核漸近展開の手法を用いて、局所的等変族インデックス定理の新しい証明を確立すること。
• 呉の手法とスーパーアルジェブラ形式を用いて、等変族JLO特性を明示的に計算すること。
• 等変エータ形式を定義し、Grassmann変数を用いたトレース推定と作用素の共役化技術を用いてその正則性を証明すること。
• アティヤ＝パトディ＝シンガーおよびビスムー＝フリードの結果を、等変族設定に一般化し、群作用を伴うファイバー束へのインデックス理論の拡張を図ること。

提案手法

• グリーナーの熱核漸近展開の手法を用いて、熱方程式の解に依存せずに局所的インデックス定理を導出する。
• ボルテラ擬微分作用素の計算を用いて熱核展開を計算し、複雑な座標変換を回避する。
• スケーリング作用素 $ h = 1 + \frac{1}{2}dt\sum x_i e_i $ を用いた共役化技術を用いて、エータ形式の漸近的挙動を分析する。
• ドゥハメルの原理を用いて、$ \widetilde{\phi}(D + \frac{c(T)}{4})e^{-tF} $ のトレースを摂動作用素に関連づけ、漸近的制御を可能にする。
• トレース $ {\rm Tr}^{\rm even} $ を適用して奇数次元形式を除去し、エータ形式への偶数次元寄与に焦点を当てる。
• ビスムーのスーパーアルジェブラ形式とシモンの標準的順序計算を組み合わせ、家族JLO特性をチャーン根と基底微分形式の言語で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グリーナーの熱核漸近展開を用いて、確率的または有限伝搬速度の手法に依存せずに、局所的等変族インデックス定理を証明できるか？
• RQ2 ファイバー束に群作用が働く状況において、等変族JLO特性を明示的に計算する方法は何か？
• RQ3 等変エータ形式の漸近的挙動は $ t \to 0^+ $ および $ t \to \infty $ のときどのように振る舞い、滑らかな微分形式に収束するか？
• RQ4 境界をもつ多様体上の群作用の下で、等変エータ形式は正則（滑らかで適切に定義されている）か？
• RQ5 座標変換技術を回避して、ボルテナ計算と作用素の共役化により、等変エータ形式の正則性を確立できるか？

主な発見

• 等変エータ形式 $ \widehat{\eta}(\phi) $ は、$ t \to \infty $ のとき $ O(t^{-3/2}) $、$ t \to 0^+ $ のとき $ O(t^{1/2}) $ の漸近的減衰により、適切に定義され、正則であることが示された。
• 等変族JLO特性は、呉の双変特性形式とスーパーアルジェブラを用いて明示的に計算され、基底微分形式とチャーン根の言語で表される式が得られた。
• 等変エータ形式の正則性は、$ h $ による共役化により証明され、作用素 $ F + dt(D + \frac{c(T)}{4}) $ が $ O_G(u) \leq 0 $ を満たす $ F + dt u $ に変換され、トレースの制御が可能になる。
• 従来の手法とは異なり、正規座標とチューブ型座標の間の変換を回避でき、解析が簡素化された。
• トレース $ {\rm Tr}^{\rm even} $ により奇数次元形式が除去され、エータ形式が家族パラメータに関して閉じており滑らかであることが保証された。
• 結果として、アティヤ＝パトディ＝シンガーのインデックス定理が等変族状況に拡張され、等変エータ形式は非可換幾何学における位相的不変量として機能する。