[論文レビュー] Noncommutative geometry, conformal geometry, and the local equivariant index theorem

Raphaël Ponge, Hang Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 35被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、非可換幾何学的手法を用いて、コンフォーマル幾何における局所的インデックス公式を確立する。コンフォーマルディラックスペクトル三重体のコンネス＝シュルンキャラクターを、等長的ディラック三重体のCMコサイクルを用いて計算することで達成される。ゲツラーの方法とグリーナーの熱核技法の等長的版を組み合わせた新規なスケーリング手法を用い、局所的等長的インデックス定理を再証明し、 twisted 接続を用いたインデックス写像の幾何的解釈を提供する。

ABSTRACT

We prove a local index formula in conformal geometry by computing the Connes-Chern character for the conformal Dirac (twisted) spectral triple recently constructed by Connes-Moscovici. Following an observation of Moscovici, the computation reduces to the computation of the CM cocycle of an equivariant Dirac (ordinary) spectral triple. This computation is obtained as a straightforward consequence of a new proof of the local equivariant index theorem of Patodi, Donelly-Patodi and Gilkey. This proof is obtained by combining Getzler's rescaling with an equivariant version of Greiner's approach to the heat kernel asymptotic. It is believed that this approach should hold in various other geometric settings. On the way we give a geometric description of the index map of a twisted spectral in terms of (twisted) connections on finitely generated projective modules.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学的手法を用いて、コンフォーマル幾何における局所的インデックス公式を確立すること。
• コンネス＝モスコビッチが構成したコンフォーマルディラックスペクトル三重体に対するコンネス＝シュルンキャラクターを計算すること。
• モスコビッチの洞察を活用し、コンフォーマル計算を等長的ディラックスペクトル三重体のCMコサイクルに還元すること。
• スケーリングと熱核漸近展開を用いて、局所的等長的インデックス定理の新しい証明を構築すること。
• 有限生成射影加群上の twisted 接続を用いて、インデックス写像の幾何的記述を提供すること。

提案手法

• コンフォーマル設定におけるK理論と循環コホモロジーを結ぶために、コンネス＝シュルンキャラクターを用いる。
• コンフォーマル幾何におけるコンネス＝シュルンキャラクターの計算を、等長的ディラックスペクトル三重体のCMコサイクルに還元する。
• ゲツラーのスケーリング技法を、等長的設定における熱核漸近展開に適用する。
• グリーナーの熱核アプローチを等長的状況に適応させ、漸近展開を可能にする。
• スケーリングと熱核手法を組み合わせ、局所的等長的インデックス定理を導出する。
• 有限生成射影加群上の twisted 接続を用いて、インデックス写像を幾何的に解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学におけるコンフォーマルディラックスペクトル三重体に対して、コンネス＝シュルンキャラクターはどのように計算できるか？
• RQ2 CMコサイクルは、コンフォーマルインデックス計算を等長的設定に還元する際に果たす役割は何か？
• RQ3 スケーリングと熱核手法を用いて、局所的等長的インデックス定理の新しい証明を構築できるか？
• RQ4 インデックス写像は、射影加群上の twisted 接続のような幾何的構造とどのように関係するか？
• RQ5 このアプローチは、現在の枠組みを越えて、他の幾何的設定へ一般化できる範囲はどの程度か？

主な発見

• コンフォーマル幾何において、コンフォーマルディラックスペクトル三重体のコンネス＝シュルンキャラクターの計算を通じて、局所的インデックス公式が確立された。
• 計算は、モスコビッチの観察に従い、等長的ディラックスペクトル三重体のCMコサイクルに還元された。
• ゲツラーのスケーリングとグリーナーの熱核法の等長的版を組み合わせた手法により、局所的等長的インデックス定理の新しい証明が得られた。
• 構造的な一般性を考慮すると、このアプローチは他の幾何的設定へも拡張可能であると想定される。
• インデックス写像は、有限生成射影加群上の twisted 接続を用いて幾何的に記述された。
• この方法は、非可換幾何およびコンフォーマル幾何におけるインデックス的不変量を計算する体系的な枠組みを提供する。