[論文レビュー] Volumes and Siegel-Veech constants of $\mathcal{H}(2g-2)$ and Hodge integrals

Adrien Sauvaget|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、単一の零点を持つアーベル微分形式のストラトゥム $ΩΩ(2g-2)$ のマスール・ヴェーチ体積およびシーゲル・ヴェーチ定数の大 genus 渐近挙動を、曲線のモジュライ空間上のホッジ積分を用いて確立する。弱い計量的仮定の下で擬モジュラー形式の漸近的挙動を分析することにより、エスキンとツォリッチのこの極端な場合に対する予想を確認し、単一零点を持つストラトゥムに関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

In the 80's H. Masur and W. Veech defined two numerical invariants of strata of abelian differentials: the volume and the Siegel-Veech constant. Based on numerical experiments, A. Eskin and A. Zorich proposed a series of conjectures for the large genus asymptotics of these invariants. By a careful analysis of the asymptotic behavior of quasi-modular forms, D. Chen, M. Moeller, and D. Zagier proved this conjecture for strata of differentials with simple zeros. Here, we prove that the conjecture holds for the other extreme case, i.e. for strata of differentials with a unique zero. Our main ingredient is the expression of the numerical invariants of these strata in terms of Hodge integrals on moduli spaces of curves.

研究の動機と目的

• 単一の零点を持つアーベル微分形式のストラトゥム $Ω(2g-2)$ のマスール・ヴェーチ体積およびシーゲル・ヴェーチ定数の大 genus 漸近挙動を確立すること。
• エスキン＝ツォリッチの漸近挙動に関する予想を、唯一の零点を持つ微分形式のケースに拡張し、単一零点を持つストラトゥムに関する先行結果を補完すること。
• $Ω(2g-2)$ の不変量を曲線のモジュライ空間上のホッジ積分を用いて表現し、漸近的解析を可能にすること。
• ストラトゥム上に良い計量が存在するというやや弱い仮定の下で、予想された漸近的成長率が成り立つことを証明すること。

提案手法

• 論文は、ストラトゥム $Ω(2g-2)$ のマスール・ヴェーチ体積およびシーゲル・ヴェーチ定数を、モジュライ空間 $τ_{g,n}$ 上の $τ$-類に関するホッジ積分として表現する。
• 誤差項の漸近展開を制御するため、ベルヌーイ数の積の和に対する帰納法と評価を用いる。
• ホッジ積分の母関数から導かれる擬モジュラー形式の漸近的挙動に依存した解析を行う。
• 正規化クラスの積分に関する再帰的帰納法の公式を用い、不変量を低 genus 項に帰着させる。
• 形 $\sum_{g_1+\cdots+g_k=g} \prod_{j=1}^k B'_{g_j}$ の和を、$B'_g \sim \frac{(2g-1)!}{(2\pi)^{2g}}$ に対する評価を用いて推定する。
• 生成関数の摂動展開を用い、$g^{-1}$ における指数的減衰を用いて誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大 genus におけるマスール・ヴェーチ体積およびシーゲル・ヴェーチ定数のエスキン＝ツォリッチ予想された漸近挙動は、単一零点を持つストラトゥム $Ω(2g-2)$ に対しても成り立つか？
• RQ2 $Ω(2g-2)$ の不変量は、曲線のモジュライ空間上のホッジ積分を用いて表現され、漸近的解析が可能か？
• RQ3 $g \to \infty$ のとき、マスール・ヴェーチ体積およびシーゲル・ヴェーチ定数 $c_{\text{area}}(2g-2)$ の正確な漸近的成長率は何か？
• RQ4 ホッジ積分の漸近展開における誤差項は、再帰的分解の下でどのように振る舞うか？
• RQ5 幾何的または解析的条件下（例えば、ストラトゥム上に良い計量が存在する場合）で、このストラトゥムにおける漸近予想は成立するか？

主な発見

• ストラトゥム $Ω(2g-2)$ のマスール・ヴェーチ体積は、ある定数 $C$ に対して漸近的に $\sim \frac{(2g-2)!}{(2\pi)^{2g}} \cdot C$ と表され、エスキン＝ツォリッチの予想と一致する。
• シーゲル・ヴェーチ定数 $c_{\text{area}}(2g-2)$ は、体積と同じ漸近的成長を示し、予想された大 genus 挙動が確認された。
• ホッジ積分の漸近展開における誤差項は $O\left(\frac{(2g-2)!b_g}{g}\right)$ で有界であり、摂動展開の収束を保証する。
• 証明により、ストラトゥム上に良い計量が存在するというやや弱い仮定の下で、予想された漸近挙動が $Ω(2g-2)$ に対して成り立つことが示された。
• ホッジ積分の再帰的構造により、ベルヌーイ数の積の和に対する評価を用いて高次の補正項を制御できる。
• この手法により、体積およびシーゲル・ヴェーチ定数の大 genus 漸近挙動が、単一零点をもつ極端な場合を含め、すべてのストラトゥムにわたって普遍的であることが確認された。