[論文レビュー] Vortex solutions for the compressible Navier-Stokes equations with general viscosity coefficients in 1D: regularizing effects or not on the density

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、初期運動量 $\rho_0u_0 \in \mathcal{M}(\mathbb{R})$ および初期密度 $\rho_0 \in BV(\mathbb{R})$ という最小限の正則性仮定の下で、一般の粘性係数 $\mu(\rho) = \mu\rho^\alpha$ を持つ1次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、グローバルな弱解の存在を確立する。主な結果は、有効速度 $v = u + \frac{\mu(\rho)}{\rho^2}\partial_x\rho$ を通じた密度と速度の強い結合が、初期密度の不連続性を即座に連続解へと正則化することであり、弱い結合では不連続性が保存されることである。

ABSTRACT

We consider Navier-Stokes equations for compressible viscous fluids in the one-dimensional case with general viscosity coefficients. We prove the existence of global weak solution when the initial momentum $ρ_0 u_0$ belongs to the set of the finite measure ${\cal M}(\mathbb{R})$ and when the initial density $ρ_0$ is in the set of bounded variation functions $BV(\mathbb{R})$. In particular it allows to deal with initial momentum which are Dirac masses and initial density which admit shocks. We can observe in particular that this type of initial data have infinite energy. Furthermore we show that if the coupling between the density and the velocity is sufficiently strong then the initial density which admits initially shocks is instantaneously regularized and becomes continuous. This coupling is expressed via the regularity of the so called effective velocity $v=u+\frac{μ(ρ)}{ρ^2}\partial_x ρ$ with $μ(ρ)$ the viscosity coefficient. Inversely if the coupling between the initial density and the initial velocity is too weak (typically $ρ_0 v_0\in{\cal M}(\mathbb{R})$) then we prove the existence of weak energy solution in finite time but the density remains a priori discontinuous on the time interval of existence.

研究の動機と目的

• 一般の粘性係数 $\mu(\rho) = \mu\rho^\alpha$ を持つ1次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対するグローバル弱解の存在を確立すること。
• 初期データにショック波やディラック質量を含む場合に、密度と速度の結合が初期密度に与える正則化効果を分析すること。
• 初期密度が不連続であっても、有限時間内に連続性を獲得する条件を特定すること。
• 有限エネルギーの仮定を超えて、初期データに無限エネルギー（例：ディラック運動量、BV密度）を許容する解の存在結果を拡張すること。

提案手法

• 近似解 $ (\rho_n, u_n) $ の構成のため、粘性正則化と有限差分近似スキームを用いる。
• Aubin-Lionsの補題を用いて、$ \rho_n $ および $ \rho_n u_n $ の局所 $ L^p $ 空間における強収束を抽出する。
• 作用素の積分推定とソボレフ埋め込みを用いて、$ \rho_n u_n^2 $ や $ \partial_x P(\rho_n) $ などの非線形項を制御する。
• 密度と速度の結合強度を定量化するため、有効速度 $ v = u + \frac{\mu(\rho)}{\rho^2}\partial_x\rho $ を導入する。
• $ \rho $ および $ 1/\rho $ に対する $ L^\infty $ での一様有界性、$ \partial_x\rho $ に対する $ L^2_t(H^1_x) $ での一様有界性を確立し、コンパクトネスを保証する。
• Fatouの補題と弱収束を用いて極限に移行し、弱解が分布的意味で方程式を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期密度が不連続（例：$ BV(\mathbb{R}) $ に属する）であっても、有限時間内に連続性を獲得する条件は何か？
• RQ2 有効速度 $ v = u + \frac{\mu(\rho)}{\rho^2}\partial_x\rho $ の正則性によって定量化される密度と速度の結合強度は、密度の正則性にどのように影響するか？
• RQ3 劣化粘性 $ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $ を持つ圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、無限エネルギーを有する初期データのもとでグローバル弱解が存在しうるか？
• RQ4 圧力則 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $（$ \gamma > 1 $）は、正則性と存在性の枠組みにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 初期データに小刻みの仮定を課さない場合でも、$ \rho_0 \in BV(\mathbb{R}) $ かつ $ \rho_0 u_0 \in \mathcal{M}(\mathbb{R}) $ であれば、グローバル存在が保証されるか？

主な発見

• 初期運動量 $ \rho_0 u_0 \in \mathcal{M}(\mathbb{R}) $ および初期密度 $ \rho_0 \in BV(\mathbb{R}) $ のもとで、無限エネルギーであってもグローバル弱解が存在する。
• 有効速度 $ v = u + \frac{\mu(\rho)}{\rho^2}\partial_x\rho $ が十分に正則（例：$ L^2 $ に属する）であれば、初期の不連続密度は $ t > 0 $ で即座に連続性を獲得する。
• 結合が弱い場合（例：$ \rho_0 v_0 \in \mathcal{M}(\mathbb{R}) $）、密度は存在区間全体で不連続のままである。
• 解は、時間に一様に $ \|\rho(t,\cdot)\|_{L^\infty} \leq C(t) $ および $ \|\partial_x\rho\|_{L^2_t(L^2_x)} \leq C $ を満たす。
• 速度 $ u $ は $ L^{p(s)-\epsilon}_{\text{loc}}(H^s_{\text{loc}}) $ に属し、$ p(s) = \frac{3}{1+2s} $、$ 0 \leq s < 1 $、$ \epsilon > 0 $ が十分小さい。
• $ \rho_n u_n $ から $ \rho u $ への $ L^2_{\text{loc}}(L^2_{\text{loc}}) $ における強収束により、非線形項における極限への移行が可能となる。