[論文レビュー] Vortices and 3 dimensional dualities

Hee‐Cheol Kim, Jungmin Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 47被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、3次元 $χ=4$ および $χ=3$ のゲージ理論におけるトポロジカルなバイオリューションのスーパパーティション関数を、局所化とインデックス理論を用いて計算し、フェイユ・イリエプス（FI）項による摂動を含むセイバーグ類似双対性を検証する。双対な理論ペア間でバイオリューションスペクトルが完全に一致することを示し、バイオリューションが双対の理論に正確に対応することを明らかにした。特に、非トポロジカルなバイオリューションとチェーン＝シモンズ項を含む理論において、双対性不変性を保つ上でバイオリューションが果たす本質的役割が明るみに出た。

ABSTRACT

We study a supersymmetric partition function of topological vortices in 3d N=4,3 gauge theories on R^2 x S^1, and use it to explore Seiberg-like dualities with Fayet-Iliopoulos deformations. We provide a detailed support of these dualities and also clarify the roles of vortices. The N=4 partition function confirms the proposed Seiberg duality and suggests nontrivial extensions, presumably at novel IR fixed points with enhanced symmetries. The N=3 theories with nonzero Chern-Simons term also have non-topological vortices in the partially broken phases, which are essential for the Seiberg duality invariance of the spectrum. We use our partition function to confirm some properties of non-topological vortices via Seiberg duality in a simple case.

研究の動機と目的

• 3次元 $χ=4$ および $χ=3$ の超対称ゲージ理論におけるセイバーグ類似双対性を、バイオリューション・パーティション関数を用いて研究すること。
• FI変形の下でも双対性不変性を保つために、トポロジカルおよび非トポロジカルなバイオリューションが果たす役割を明確化すること。
• $χ=4$ の理論における提案されたセイバーグ双対性を確認し、より高い対称性を持つ新しいIR固定点への拡張を検討すること。
• 非ゼロのチェーン＝シモンズレベルを持つ $χ=3$ の理論における、部分的に破れた相におけるバイオリューションの振る舞いを調査すること。

提案手法

• $\mathbb{R}^2\times S^1$ 上での局所化を用い、バイオリューションをヒッグス相におけるBPSソリトンとして扱い、バイオリューション・パーティション関数を計算する。
• コhomologicalな定式化と鞍点近似を用いて経路積分を評価し、ゼロモードと1ループ行列式に注目する。
• バイオリューションの鞍点周りの摂動におけるボソン的およびフェルミオン的1ループ行列式を評価し、双曲線関数と三角関数を用いてゼロモードの寄与を捕捉する。
• 基本表現のインデックスでラベルされた $N$ 個の異なる鞍点の和を取ることで、1バイオリューション領域における完全なインデックスを導出する。
• 双対性を検証するために、双対な理論間のバイオリューションスペクトルを比較する応用をインデックスに施す。特に $\zeta \ll g_{\text{YM}}^2$ のFI変形の下で検証する。
• パーティション関数を用いて、チェーン＝シモンズ項を含む $χ=3$ の理論における非トポロジカルなバイオリューションの性質を確認し、双対性不変性を保つために不可欠であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元 $χ=4$ の理論におけるバイオリューション・パーティション関数は、フェイユ・イリエプス項による摂動の下で、どのようにセイバーグ双対性を確認するか？
• RQ2 チェーン＝シモンズ項を含む $χ=3$ の理論において、非トポロジカルなバイオリューションは双対性不変性を保つために果たす役割は何か？
• RQ3 $χ=4$ の理論において、バイオリューション・インデックスは、より高い対称性を持つ新しいIR固定点を明らかにできるか？
• RQ4 FI項が存在する状況下で、セイバーグ双対ペア間のトポロジカルなバイオリューションスペクトルはどのように一致するか？
• RQ5 $\mathbb{R}^2\times S^1$ のコンパクト化は、3次元超対称理論におけるバイオリューション・インデックスを計算する上で、どのような意味を持つのか？

主な発見

• 3次元 $χ=4$ の理論におけるバイオリューション・パーティション関数は、提案されたセイバーグ双対性を確認し、より高い対称性を持つ新しいIR固定点の存在を示唆している。
• 1バイオリューション領域におけるインデックスは、$I_{k=1} = \frac{\sin(\gamma+\gamma^\prime)}{\sin 2\gamma}\sum_{i=1}^{N}\prod_{j\neq i}^{N}\frac{\sinh\frac{\mu_{ji}+2i(\gamma-\gamma^\prime)}{2}}{\sinh\frac{\mu_{ji}}{2}}\prod_{p=N+1}^{N_f}\frac{\sinh\frac{\mu_{pi}+2i(\gamma+\gamma^\prime)(R+\tilde{R})-2i(\gamma-\gamma^\prime)}{2}}{\sinh\frac{\mu_{pi}+2i(\gamma+\gamma^\prime)(R+\tilde{R})}{2}}$ で与えられ、双対な理論間で正確に一致する。
• $χ=3$ の理論で非ゼロのチェーン＝シモンズ項を持つ場合、非トポロジカルなバイオリューションは部分的に破れた相に現れ、スペクトルの双対性不変性を保つために不可欠である。
• パーティション関数は、片方の双対理論におけるトポロジカルなバイオリューションが、他方の理論における双対バイオリューションに正確に対応することを示しており、4次元セイバーグ双対性写像の3次元アナログを確認している。
• 1ループ行列式は、ボソン的およびフェルミオン的寄与の間で $\beta$ および $r$ の依存性を完全にキャンセルし、有限でパラメータに依存しないインデックスが残る。
• 本研究は、バイオリューション・パーティション関数が、スクエッシュド3次元球面パーティション関数など他の3次元パーティション関数よりも、バイオリューション領域への因子分解を示すため、より基本的な量である可能性を示している。