[論文レビュー] W*-algebras and noncommutative integration

Ryszard Paweł Kostecki|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、任意の $W^*$-代数上での非可換積分の包括的かつ代数的枠組みを提示し、任意の $W^*$-代数 $\mathcal{N}$ およびオルリッチ関数 $\u03a5$ に対して、非可換オルリッチ空間 $L_{Υ}(/mathcal{N})$ の標準的構成を導入する。この空間同士の函手的同型を確立し、$W^*$-代数の $*$-同型写像のもとでの等長不変性を証明することで、ヒルベルト空間への依存を避けながら、非可換および可換積分論を統一する。

ABSTRACT

This text is a detailed overview of the theories of W*-algebras and noncommutative integration, up to the Falcone-Takesaki theory of noncommutative Lp spaces over arbitrary W*-algebras, and its extension to noncommutative Orlicz spaces. The topics under consideration include the Tomita-Takesaki modular theory, the relative modular theory (featuring bimodules, spatial quotients, and canonical representation), the theory of W*-dynamical systems (featuring derivations, liouvilleans, and crossed products), noncommutative Radon-Nikodym type theorems, and operator valued weights. We pay special attention to abstract algebraic formulation of all properties (avoiding the dependence on Hilbert spaces wherever it is possible), to functoriality of canonical structures arising in the theory, and to the relationship between commutative and noncommutative integration theories. Several new results are proved.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間表現への依存を最小限に抑えた、任意の $W^*$-代数上での非可換積分の自己完結的かつ代数的取り扱いを提供すること。
• ファルコーネ–テイクサイの非可換 $L_p$-空間理論を、任意の $W^*$-代数 $\mathcal{N}$ およびオルリッチ関数 $\Upsilon$ に対する非可換オルリッチ空間 $L_{\Upsilon}(\mathcal{N})$ に拡張すること。
• $W^*$-代数と非可換オルリッチ空間の間の函手的関係を確立し、$*$-同型写像のもとでの等長不変性を保証すること。
• 標準的図式と同値関係を通じて、可換および非可換積分論のカテゴリカルかつ構造的関係を明確化すること。
• モジュラー理論および非可換積分論における主要な同値関係と図式の、文献におけるギャップを埋めるために、新しい圏論的定式化を提供すること。

提案手法

• ファルコーナ–テイクサイによる非可換 $L_p$-空間の構成を一般のオルリッチ関数 $\Upsilon$ に拡張することで、非可換オルリッチ空間 $L_{\Upsilon}(\mathcal{N})$ を構成する。
• スペクトル分布関数を用いて $L_{\Upsilon}(\mathcal{N})$ 上のノルムを定義する：$\|x\|_{\Upsilon} = \inf\{\lambda > 0 \mid \int_0^\infty dt\, \Upsilon(\lambda^{-1} \mathbf{R}_{|x|}^{\widetilde{\tau}}(t)) < \infty\}$、ここで $\mathbf{R}_{|x|}^{\widetilde{\tau}}(t)$ は、標準的トレース $\widetilde{\tau}$ に関する $|x|$ の一般化逆分布関数である。
• 正規半有限重み $\psi$ を持つ $\mathcal{N}$ に対して、$\widetilde{\mathcal{N}} = \mathcal{N} \rtimes_{\sigma^\psi} \mathbb{R}$ というクロス積構成を用いて、双対系 $({\widetilde{\mathcal{N}}}, \mathbb{R}, \tilde{\sigma}^t, \widetilde{\tau})$ を表現し、$\widetilde{\mathcal{N}}$ を用いて $L_{\Upsilon}(\mathcal{N})$ を定義する。
• $*$-同型写像 $\varsigma: \mathcal{N}_1 \to \mathcal{N}_2$ が、$\mathscr{M}(\widetilde{\mathcal{N}}, \widetilde{\tau})$ 上への $\widetilde{\varsigma}$ の拡張を通じて、$L_{\Upsilon}(\mathcal{N}_1)$ から $L_{\Upsilon}(\mathcal{N}_2)$ への等長的 $*$-同型写像 $\bar{\varsigma}$ を誘導することを証明し、スペクトル測度およびノルムを保存する。
• 函手的性質と等長不変性を示すために、$\mathrm{ncL}_{\Upsilon}: \mathbf{W}^*\mathbf{Iso} \to \mathbf{ncL}_{\Upsilon}\mathbf{Iso}$ として構成を形式化する。
• 可換および非可換積分論を圏論のレベルで統一するために、新しい圏論的同値関係（例えば (543)–(545)、(601)、(602)、(607)、(613)）および図式（例えば (620)）を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $W^*$-代数 $\mathcal{N}$ およびオルリッチ関数 $\Upsilon$ に対して、ヒルベルト空間表現に依存せずに、非可換オルリッチ空間 $L_{\Upsilon}(\mathcal{N})$ をどのように標準的に構成できるか？
• RQ2 $*$-同型写像の下で、$W^*$-代数と非可換オルリッチ空間の間の函手的関係は何か？また、等長不変性はどのように保たれるか？
• RQ3 同値関係や可換図式といった圏論的道具を用いて、非可換積分の標準的構造をどのように記述できるか？
• RQ4 オルリッチ関数 $\Upsilon$ がどのような条件下で、空間 $L_{\Upsilon}(\mathcal{N})$ が反射的、一様凸、または一様フレシェ微分可能になるか？
• RQ5 シェルマンの仕事に示唆されたように、非可換オルリッチ空間の圏 $\mathbf{ncL}_{\Upsilon}\mathbf{Iso}$ から $W^*$-代数の圏への関手は、全単射のジョルダン $*$-同型写像を介して存在するか？

主な発見

• 本稿は、任意の $W^*$-代数 $\mathcal{N}$ およびオルリッチ関数 $\Upsilon$ に対して、非可換オルリッチ空間 $L_{\Upsilon}(\mathcal{N})$ の標準的族を構成し、ファルコーナ–テイクサイ理論を $L_p$-空間を超えて拡張する。
• $\Upsilon$ がグローバル $\triangle_2$ 条件を満たす場合、$L_{\Upsilon}(\mathcal{N}) = E_{\Upsilon}(\mathcal{N})$ かつ $L_{\Upsilon}(\mathcal{N})^\mathbf{B} \cong L_{\Upsilon^\mathbf{Y}}(\mathcal{N})$ が成り立ち、空間とその Köthe 双対の間に双対性が成立する。
• $\Upsilon$ が一様凸である場合、$L_{\Upsilon}(\mathcal{N})$ も一様凸であり、さらに $\Upsilon^\mathbf{Y}$ がグローバル $\triangle_2$ 条件を満たすならば、$L_{\Upsilon}(\mathcal{N})$ は反射的である。
• 任意の $*$-同型写像 $\varsigma: \mathcal{N}_1 \to \mathcal{N}_2$ は、$L_{\Upsilon}(\mathcal{N}_1)$ から $L_{\Upsilon}(\mathcal{N}_2)$ への等長的 $*$-同型写像 $\bar{\varsigma}$ を誘導する。これは、構成が函手的であることを証明する。
• 本稿は、可換および非可換積分論を、トポロジカル表現を用いずに、明示的に関係付ける新しい圏論的同値関係（例：(543)–(545)、(601)、(602)、(607)、(613)）および標準的図式 (620) を導入する。
• 構成により、関手 $\mathrm{ncL}_{\Upsilon}: \mathbf{W}^*\mathbf{Iso} \to \mathbf{ncL}_{\Upsilon}\mathbf{Iso}$ が確立され、非可換オルリッチ空間が $*$-同型写像の下で共変な函手的系をなすことが示された。