[論文レビュー] W-algebras for Argyres-Douglas theories

Thomas Creutzig|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2017

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、量子ハミルトニアン還元を用いて、$A_{\text{odd}}$ 型および $D_{\text{even}}$ 型のアーギュレス＝ダウグラー理論に対応する頂点演算子代数（VOA）を同定する。$(A_1, A_{2p-3})$ 理論のシュール指数が、対応する対数的 $\mathcal{B}_p$-代数の特徴と一致することを示し、$(A_1, D_{2p})$ 理論のシュール指数が、レベル $k = -(p^2-1)/p$ における $L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$ の非正則な量子ハミルトニアン還元として構成された非正則 $\mathcal{W}_p$-代数の特徴と一致することを確認し、これらの特徴のモジュラー性に関する予想を裏付ける。

ABSTRACT

The Schur-index of the $(A_1, X_n)$-Argyres-Douglas theory is conjecturally a character of a vertex operator algebra. Here such vertex algebras are found for the $A_{ ext{odd}}$ and $D_{ ext{even}}$-type Argyres-Douglas theories. The vertex operator algebra corresponding to $A_{2p-3}$-Argyres-Douglas theory is the logarithmic $\mathcal B_p$-algebra of [1], while the one corresponding to $D_{2p}$, denoted by $\mathcal W_p$, is realized as a non-regular Quantum Hamiltonian reduction of $L_{k}(\mathfrak{sl}_{p+1})$ at level $k=-(p^2-1)/p$. For all $n$ one observes that the quantum Hamiltonian reduction of the vertex operator algebra of $D_n$ Argyres-Douglas theory is the vertex operator algebra of $A_{n-3}$ Argyres-Douglas theory. As corollary, one realizes the singlet and triplet algebras (the vertex algebras associated to the best understood logarithmic conformal field theories) as Quantum Hamiltonian reductions as well. Finally, characters of certain modules of these vertex operator algebras and the modular properties of their meromorphic continuations are given.

研究の動機と目的

• $(A_{\text{odd}}$ および $D_{\text{even}}$-型のアーギュレス＝ダウグラー理論に対応する頂点演算子代数（VOA）を同定すること。
• $(A_1, D_{2p})$-型理論のVOAを、レベル $k = -(p^2-1)/p$ における $L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$ の非正則な量子ハミルトニアン還元として構成すること。
• これらの理論のシュール指数が対応するVOAの特徴と一致することを検証すること。
• シングレット代数およびトライプレット代数が量子ハミルトニアン還元として生じることを確立すること。
• 特徴のメロモーフィック続拡張を用いて、ベクトル値の不定指数のジャコビ形式としてモジュラーデータを提供すること。

提案手法

• $L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$ に対してレベル $k = -(p^2-1)/p$ で量子ハミルトニアン還元を適用し、$\mathcal{W}_p$-代数を構成する。
• $\mathcal{B}_p$-代数は、$A_{2p-3}$-型のアーギュレス＝ダウグラー理論に関連する対数的代数として同定される。
• モジュールの特徴を計算し、不確定指数のメロモーフィックジャコビ形式へ解析接続する。
• スペクトルフロー自己同型を用いて、モジュラー性を調べるモジュールを生成する。
• $\mathcal{W}_p$ と $\mathcal{X}_p = \bigoplus_{m=0}^\infty L(m) \otimes (F_{-\lambda m} \oplus \cdots \oplus F_{\lambda m})$ 間の対応を特徴一致によって確立する。
• $\mathcal{W}_p$、$\mathcal{C}_p$、$\mathcal{Y}_p$ に $+$-還元ファンクター $H_+^0$ を適用し、既知のVOA $\mathcal{B}_p$、$\mathcal{M}(p)$、$\mathcal{W}(p)$ を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(A_1, A_{2p-3})$ アーギュレス＝ダウグラー理論のシュール指数は、$\mathcal{B}_p$-代数の特徴と一致するか？
• RQ2 $(A_1, D_{2p})$ アーギュレス＝ダウグラー理論のシュール指数は、レベル $k = -(p^2-1)/p$ における $L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$ の非正則な量子ハミルトニアン還元としての特徴として実現可能か？
• RQ3 $\mathcal{W}_p$-代数のモジュールの特徴は、不確定指数のベクトル値ジャコビ形式へメロモーフィック続拡張を許容するか？
• RQ4 $\mathcal{W}_p$-代数は、$L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathcal{H}$ を用いた特定の $\mathcal{X}_p$ モジュール構成と同型であるか？
• RQ5 $\mathcal{W}_p$、$\mathcal{C}_p$、$\mathcal{Y}_p$ における $+$-還元ファンクター $H_+^0$ は、既知の $\mathcal{B}_p$、$\mathcal{M}(p)$、$\mathcal{W}(p)$ VOA を回復するか？

主な発見

• $\mathcal{B}_p$-代数の特徴は、$(A_1, A_{2p-3})$ アーギュレス＝ダウグラー理論のシュール指数と一致し、中心電荷は $c_p[\mathcal{B}_p] = 2 - 6(p-1)^2/p$ である。
• $\mathcal{W}_p$-代数の特徴は、$(A_1, D_{2p})$ アーギュレス＝ダウグラー理論のシュール指数と一致し、中心電荷は $c_p[\mathcal{W}_p] = 4 - 6p$ である。
• $\mathcal{W}_p$-代数は、レベル $k = -(p^2-1)/p$ における $L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$ の非正則な量子ハミルトニアン還元として実現され、境界アドミッサブルレベルである。
• $\mathcal{W}_p$ の特徴が $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathcal{H}$-モジュール $\mathcal{X}_p$ の特徴と等しいことが示され、モジュールレベルの同型が確立される。
• $\mathcal{W}_p$-代数は $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathcal{H}$ の共形埋め込みを含み、$\mathcal{W}_p \cong \mathcal{X}_p$ が $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathcal{H}$-モジュールとして成り立つ。
• $+$-還元ファンクター $H_+^0$ は、$\mathcal{W}_p$ を $\mathcal{B}_p$、$\mathcal{C}_p$ を $\mathcal{M}(p)$、$\mathcal{Y}_p$ を $\mathcal{W}(p)$ に写像し、予想された対応関係を確認する。