[論文レビュー] W-types in sheaves

Benno van den Berg, Ieke Moerdijk|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、層の圏におけるW型の正しいかつ明確な記述を提供し、先行研究における誤った主張（層におけるW型は余層におけるそれと同一に計算できる）を是正する。層における初期対象（終対象上の恒等写像に関するW型）が余層と異なり、Grothendieckのサイトとシーブを用いた明確な構成法を提示することで、層トポスにおける型理論の基礎的ツールを確立する。

ABSTRACT

In this small note we give a concrete description of W-types in categories of sheaves. It can be shown that any topos with a natural numbers object has all Wtypes. Although there is this general result, it can be useful to have a concrete description of W-types in various toposes. For example, a concrete description of W-types in the effective topos can be found in [2, 3], and a concrete description of W-types in categories of presheaves was given in [5]. It was claimed in [5] that W-types in categories of sheaves are computed as in presheaves (Proposition 5.7 in loc.cit.) and can therefore be described in the same way. Unfortunately, this claim is incorrect, as the following (easy) counterexample shows. Let f : 1 → 1 be the identity map on the terminal object. The W-type associated to f is the initial object, which, in general, is different in categories of presheaves and sheaves. This means that we still lack a concrete description of W-types in categories of sheaves. This note aims to fill this gap. We would like to warn readers who are sensitive to such issues that our metatheory is ZFC. In particular, we freely use the axiom of choice. We leave the issue of how to describe W-types in categories of sheaves when the metatheory is more demanding (i.e. weaker) to another occasion. Categories of sheaves are described using (Grothendieck) sites. There are different formulations of the notion of a site, all essentially equivalent ([4] provides an excellent discussion of this point), but for our purposes we find the following (“sifted”) formulation the most useful. Definition 0.1 Let C be a category. A sieve S on an object a ∈ C consists of a set of arrows in C all having codomain a and closed under precomposition (i.e., if f : b → a and g: c → b are arrows in C and f belongs to S, then so does fg). We call the set Ma of all arrows into a the maximal sieve on a. If S is a sieve on a and f : b → a is any map in C, we write f∗S for the sieve {g: c → b : fg ∈ S} on b. In case f belongs to S, we have f∗S = Mb. A (Grothendieck) topology Cov on C is given by assigning to every object a ∈ C a collection of sieves Cov(a) such that the following axioms are satisfied:

研究の動機と目的

• 自然数対象を備えたトポスにおいてW型が存在するにもかかわらず、層の圏におけるW型の正しい、明確な記述が欠けているという問題に対処すること。
• [5]における、層におけるW型が余層におけるそれと同一に計算できるという誤った主張を是正すること。
• Grothendieckのサイトとシーブの言語を用いて、層トポスにおけるW型の明確で実用的な構成法を提供すること。
• 特に構成的・圏論的論理の応用を想定し、層トポスにおける型理論的構成の基礎を確立すること。

提案手法

• 明確さと実用性を重視し、シーブを用いた『散らばり』（sifted）な定式化を採用して、Grothendieckのサイトとシーブを用いて層の圏を記述する枠組みを用いる。
• 対象a上のシーブSを、余域がaである射の集合として定義し、前結合に関して閉じているものとし、シーブSに対する引き戻し操作f∗Sを導入する。
• 標準的な帰納的構成法を用い、f: A → B という従属族を用いて、fに付随する多項式ファンクターの初期代数としてW型を解釈する。
• 余層におけるW型の構成と比較して、層におけるW型の構成が異なることを、終対象上の恒等写像に関連する反例を提示することで示す。
• 層における正しい構成には、余層レベルのW型の層化が必要であることを確立し、層トポスにおける普遍性が保たれることを保証する。
• ZFCをメタ理論として用い、選択公理を含むが、より弱いメタ理論を想定する場合には別途取り扱いが必要であると認識している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 W型はどのように層の圏で構成され、それらの余層における対応物とはどのように異なるのか？
• RQ2 [5]における、層におけるW型が余層におけるそれと同一に計算できるという主張が誤りである理由は何か？
• RQ3 Grothendieckのサイトとシーブを用いて、層トポスにおけるW型の正しい、明確な記述は何か？
• RQ4 層の圏における初期対象と余層の圏における初期対象はどのように比較できるか？また、W型にどのような含意があるか？
• RQ5 層におけるW型の均一な構成法は、層条件とW型の普遍性を満たすように可能か？

主な発見

• [5]における、層におけるW型が余層におけるそれと同一に計算できるという主張は、終対象上の恒等写像に関連する反例によって誤りであると示された。
• 恒等写像f: 1 → 1に付随するW型は、任意のトポスにおいて初期対象であるが、これは余層の圏と層の圏で異なる対象である。
• 層におけるW型の構成には、余層レベルのW型の層化が必要であり、層におけるW型は単に余層のW型を層として見たものではない。
• Grothendieckのサイトとシーブの言語を用いて、層におけるW型の正しい、明確な記述が提供され、W型の普遍性が満たされている。
• 自然数対象を備えたすべてのトポスがすべてのW型を有することは確認されたが、層トポスにおける明確な記述は非自明であり、層条件を注意深く取り扱う必要がある。
• 本結果は、特に構成的・予防的数学を想定した場合に、層トポスにおける型理論の基礎的ツールを提供する。