[論文レビュー] Waiter-Client and Client-Waiter Hamiltonicity games on random graphs

Dan Hefetz, Michael Krivelevich+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ランダムグラフ $\mathcal{G}(n,p)$ 上のWaiter-ClientおよびClient-Waiterハミルトニアンゲームにおける鋭い閾値確率を特定する。$(1:q)$ Waiter-Clientゲームでは、$q$とは無関係に閾値は $\log n/n$ であるのに対し、Client-Waiterゲームでは $(q+1)\log n/n$ となり、$q$ に依存する。これらの結果により、各プレイヤーが漸近的にほとんど確実にハミルトニアンな結果を保証できるエッジ確率の正確な値が特定される。

ABSTRACT

We study two types of two player, perfect information games with no chance moves, played on the edge set of the binomial random graph ${\mathcal G}(n,p)$. In each round of the $(1 : q)$ Waiter-Client Hamiltonicity game, the first player, called Waiter, offers the second player, called Client, $q+1$ edges of ${\mathcal G}(n,p)$ which have not been offered previously. Client then chooses one of these edges, which he claims, and the remaining $q$ edges go back to Waiter. Waiter wins this game if by the time every edge of ${\mathcal G}(n,p)$ has been claimed by some player, the graph consisting of Client's edges is Hamiltonian; otherwise Client is the winner. Client-Waiter games are defined analogously, the main difference being that Client wins the game if his graph is Hamiltonian and Waiter wins otherwise. In this paper we determine a sharp threshold for both games. Namely, for every fixed positive integer $q$, we prove that the smallest edge probability $p$ for which a.a.s. Waiter has a winning strategy for the $(1 : q)$ Waiter-Client Hamiltonicity game is $(1 + o(1)) \log n/n$, and the smallest $p$ for which a.a.s. Client has a winning strategy for the $(1 : q)$ Client-Waiter Hamiltonicity game is $(q + 1 + o(1)) \log n/n$.

研究の動機と目的

• $(1:q)$ Waiter-Clientハミルトニアンゲームにおいて、Waiterが $\mathcal{G}(n,p)$ 上でハミルトニアンな結果を保証できる正確な閾値確率 $p$ を特定すること。
• $(1:q)$ Client-Waiterハミルトニアンゲームにおいて、Clientが $\mathcal{G}(n,p)$ 上でハミルトニアンな結果を保証できる正確な閾値確率 $p$ を特定すること。
• これらの閾値がバイアスパラメータ $q$ にどのように依存するかを分析し、$\mathcal{G}(n,p)$ における古典的ハミルトニアン性の閾値と比較すること。
• Waiter-Clientの閾値が古典的ハミルトニアン性の閾値と一致する一方、Client-Waiterの閾値が $q$ に線形に依存することを確立すること。
• Waiter-ClientおよびClient-Waiterという2つの新しいゲームタイプについて、鋭い閾値を示すことで、ランダムグラフ上の位置ゲームの理解を拡張すること。

提案手法

• 臨界的エッジ確率における $\mathcal{G}(n,p)$ の構造を分析するための確率的技法および集中不等式の使用。
• ボックスゲームの枠組みと独立集合を活用して、Clientのグラフで次数が低い頂点を孤立化するためのWaiterの戦略の構築。
• $(1:q)$ ボックスゲーム戦略を応用し、Clientが自身のグラフで次数1の頂点を獲得するように仕向け、ハミルトニアン性を防ぐ。
• 期待値と集中限界の使用により、$p = (q+1 - \varepsilon)\log n / n$ のとき、漸近的にほとんど確実にWaiterがClientのグラフで頂点を孤立化できることを示す。
• $\mathcal{G}(n,p)$ における次数 $k$ の頂点数の下界を確立した後、そのような頂点のうちの最大独立集合のサイズの下界を求める。
• 背理法による証明：$p$ が閾値未満であると仮定し、WaiterがClientを非ハミルトニアンなグラフに導くことができないことを示し、結果として閾値が鋭いことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(1:q)$ Waiter-Clientハミルトニアンゲームにおいて、Waiterが勝利戦略を持つための鋭い閾値確率 $p$ は何か？
• RQ2 $(1:q)$ Client-Waiterハミルトニアンゲームにおいて、Clientが勝利戦略を持つための鋭い閾値確率 $p$ は何か？
• RQ3 Client-Waiterゲームの閾値はバイアスパラメータ $q$ にどのように依存するか？
• RQ4 なぜWaiter-Clientの閾値は $q$ に依存しないのに対し、Client-Waiterの閾値は依存するのか？
• RQ5 閾値確率は、$q = O(n)$ や $q \leq (1-o(1))n/\log n$ のような非定数 $q$ に拡張可能か？

主な発見

• 任意の固定された $q$ に対して、$\mathcal{G}(n,p)$ 上の$(1:q)$ Waiter-Clientハミルトニアンゲームの鋭い閾値は $p = (1+o(1))\log n / n$ であり、$q$ とは無関係である。
• 任意の固定された $q$ に対して、$\mathcal{G}(n,p)$ 上の$(1:q)$ Client-Waiterハミルトニアンゲームの鋭い閾値は $p = (q+1+o(1))\log n / n$ であり、$q$ に線形に依存する。
• Waiter-Clientの閾値は、$\mathcal{G}(n,p)$ における古典的ハミルトニアン性の閾値と一致しており、これはWaiterがハミルトニアンサイクルが存在する可能性が高まる段階ですでに勝利できるということを示している。
• Client-Waiterの閾値は古典的閾値よりも厳密に大きい。これは、敵対的な提供の下でClientがハミルトニアンサイクルを獲得することがより困難であることを反映している。
• 漸近的にほとんど確実に、$p = (q+1 - \varepsilon)\log n / n$ のとき、Waiterは低次数の頂点と独立集合を活用してClientのグラフで頂点を孤立化でき、結果としてハミルトニアン性を防げる。
• 解析により、$\mathcal{G}(n,p)$ における次数 $k$ の頂点数は十分に大きく、集中していることが示され、これによりWaiterは閾値未満でClientを非ハミルトニアンなグラフに導く戦略を構築できる。