[論文レビュー] Wall-crossing in genus zero quasimap theory and mirror maps

Ionuţ Ciocan-Fontanine, Bumsig Kim|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、GIT商 $W//G$ におけるクェーシーマップ理論において、生成関手の零位相の壁越え公式を確立し、鏡映写像をクェーシーマップ不変量の母関数として解釈することで、トーリック鏡対称性を一般化する。異なる安定性チャネル（$\varepsilon$）における不変量は、幾何的変換によって関連づけられ、固定点成分の一意性と仮想局所化を用いた検証により等価性が裏付けられる。

ABSTRACT

For each positive rational number epsilon, the theory of epsilon-stable quasimaps to certain GIT quotients W//G developed in arXiv:1106.3724[math.AG] gives rise to a Cohomological Field Theory. Furthermore, there is an asymptotic theory corresponding to epsilon --> 0. For epsilon >1 one obtains the usual Gromov-Witten theory of W//G, while the other theories are new. However, they are all expected to contain the same information and in particular the numerical invariants should be related by wall-crossing formulas. In this paper we analyze the genus zero picture and find that the wall-crossing in this case significantly generalizes toric mirror symmetry (the toric cases correspond to abelian groups G). In particular, we give a geometric interpretation of the mirror map as a generating series of quasimap invariants. We prove our wall-crossing formulas for all targets W//G which admit a torus action with isolated fixed points, as well as for zero loci of sections of homogeneous vector bundles on such W//G.

研究の動機と目的

• クェーシーマップ理論における、$W//G$ の異なる安定性パrameter $\varepsilon$ の間で、生成関手の零位相クェーシーマップ不変量の壁越え公式を定式化すること。
• トーリック多様体内の半正則な完備交差に対して、ギヴェンタルの鏡定理をより広いGIT商へ一般化すること。
• 鏡写像をクェーシーマップ不変量の母関数として幾何学的に解釈すること。
• 仮想局所化と固定点技術を用いて、異なる $\varepsilon$-チャネル間のクェーシーマップ不変量の等価性を証明すること。

提案手法

• クェーシーマップ不変量に $\psi$-類と挿入項を含めた生成関数 $S^\varepsilon_\mathbf{t}(\gamma)$ を定義する。
• 仮想局所化を用いて、$W//G$ 上の $T$-等変クェーシーマップ不変量の固定点寄与を計算する。
• 接続重みと軌道データを用いて、固定点 $\mu$ における $S_{j,\mu}(z)$ の再帰的関係を確立する。
• 5つの構造的性質を満たすべきべき級数の一意性補題を用いて、$S^{\varepsilon_1}_\mathbf{t}$ と $S^{\varepsilon_2}_\mathbf{t}$ の等価性を証明する。
• 1次元 $T$-軌道が孤立していると仮定して、級数がギヴェンタルの再帰的関係と初期条件を満たすことを検証する。
• 非隣接チャネルにおける不変量を結ぶ変換 $\tau^{\varepsilon_1,\varepsilon_2}_\gamma$ を適用し、壁越え公式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $W//G$ における $\varepsilon$-安定性の壁を越える際、生成関手の零位相クェーシーマップ不変量はどのように変化するか？
• RQ2 トーリックでない標的に対して、クェーシーマップ不変量を用いて、トーリック鏡対称性における鏡写像を一般化できるか？
• RQ3 クェーシーマップ理論の観点から、鏡写像の幾何的意味は何か？
• RQ4 仮想局所化を用いて、異なる $\varepsilon$-チャネル間のクェーシーマップ不変量の等価性をどのように証明できるか？
• RQ5 一意性補題が、チャネル間の生成関数の等価性を保証するための条件は何か？

主な発見

• 壁越え公式は、任意の2つの安定性チャネル $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 間のクェーシーマップ不変量を変換 $\tau^{\varepsilon_1,\varepsilon_2}_\gamma$ で結び、コhomological Field Theoriesの等価性を証明する。
• 鏡写像は、幾何学的にクェーシーマップ不変量の母関数として解釈され、ギヴェンタルの枠組みをトーリックでない場合へ拡張する。
• $T$-固定点が孤立しており、$T$-1次元軌道が孤立している標的に対して、生成関数 $S^\varepsilon_\mathbf{t}(z)(\gamma)$ は、一意に決定される再帰的関係を満たす。
• 証明は、固定点寄与を計算し、一意性補題が要請する5つの性質を満たすことを検証する仮想局所化に依存する。
• $S^{\varepsilon_1}_\mathbf{t}(z)(\gamma)$ と $S^{\varepsilon_2}_\mathbf{t}(z)(\gamma)$ の等価性は、同一の再帰的関係と初期条件を満たすことを示すことによって確立される。
• 結果は、固定点が孤立しており、そのような空間上の同次バンドルの切断の零点集合に対しても、すべての $W//G$ に対して成り立つ。