[論文レビュー] Arithmetic and Attractors

Gregory Moore|ArXiv.org|Jul 13, 1998

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 131被引用数 171

ひとこと要約

この論文は、N=2超重力における吸引子メカニズムを介して、算術幾何学と超対称ブラックホールの間に深い関係を確立する。N=4およびN=8の compactification における吸引子多様体は算術的であり、複素乗法を持つ楕円曲線から生じ、類数および虚二次体の環類体と関連している。これはブラックホールのエントロピーと数論の間の深遠な関係を示している。

ABSTRACT

We study relations between some topics in number theory and supersymmetric black holes. These relations are based on the ``attractor mechanism'' of N=2 supergravity. In IIB string compactification this mechanism singles out certain ``attractor varieties.'' We show that these attractor varieties are constructed from products of elliptic curves with complex multiplication for N=4 and N=8 compactifications. The heterotic dual theories are related to rational conformal field theories. In the case of N=4 theories U-duality inequivalent backgrounds with the same horizon area are counted by the class number of a quadratic imaginary field. The attractor varieties are defined over fields closely related to class fields of the quadratic imaginary field. We discuss some extensions to more general Calabi-Yau compactifications and explore further connections to arithmetic including connections to Kronecker's Jugendtraum and the theory of modular heights. The paper also includes a short review of the attractor mechanism. A much shorter version of the paper summarizing the main points is the companion note entitled ``Attractors and Arithmetic'' (hep-th/9807056).

研究の動機と目的

• ストリング理論の compactification における超対称ブラックホールの吸引子多様体の数学的構造を調査すること。
• U-duality 群とその軌道が、固定されたホライズン面積を持つブラックホール解を分類する役割を果たすかを検討すること。
• 吸引子多様体の幾何学を、類数や環類体といった算術的不変量と結びつけること。
• 吸引子メカニズムを Calabi-Yau 3-fold に拡張し、モジュラー形式および高さと関連付けること。
• これらの構造が数論におけるクロネッカーの Jugendtraum およびヒルベルトの第十二問題に与える含意を検討すること。

提案手法

• N=2超重力における吸引子メカニズムを用いて、ブラックホールのホライズンにおけるモジュライを固定し、特別な代数的多様体を導出する。
• K3×T2 における IIB の compactification および関連する FHSV モデルにおける吸引子多様体を分析し、それらが複素乗法を持つ楕円曲線の積として特定されることを明らかにする。
• U-duality 群の作用を適用して BPS 状態を分類し、ホライズン面積が等しい U-duality に同値でない背景の数を類数を用いて計算する。
• 周期積分の幾何学と Calabi-Yau 3-fold のホッジ構造に依拠し、吸引子点を吸引子方程式の解として定義する。
• 複素乗法理論を用いて、得られたモジュライ空間を虚二次体の類体と結びつける。
• 大規模な複素構造極限および鏡像双対性に拡張し、K3 の鏡像写像とモジュラー不変量を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ N=4 および N=8 の compactification における吸引子多様体は算術的構造を示すのか？
• RQ2 同じホライズン面積を持つ U-duality に同値でないブラックホール背景の数は、類数とどのように関係しているのか？
• RQ3 複素乗法が吸引子多様体の構成において果たす役割は何か？
• RQ4 Calabi-Yau 3-fold における吸引子点は、モジュラー形式および算術的高さとどのように関係するのか？
• RQ5 吸引子メカニズムは、クロネッカーの Jugendtraum およびヒルベルトの第十二問題の物理的実現を提供できるか？

主な発見

• N=4 および N=8 の compactification における吸引子多様体は、複素乗法を持つ楕円曲線の積から構成される。
• 同じホライズン面積を持つ U-duality に同値でない背景の数は、虚二次体の類数によって与えられる。
• 吸引子多様体は虚二次体の環類体上に定義され、類体論と結びついている。
• 吸引子メカニズムは、代数的かつ算術的な点、特に特別なガロア不変性を持つモジュライ空間の点を選択する。
• この構成は Calabi-Yau 3-fold に一般化され、吸引子点はモジュラー高さおよびL関数の特別な値と関連している。
• 結果は、クロネッカーの Jugendtraum の物理的解釈を支持しており、吸引子モジュライ空間が虚二次体のアーベル拡大を実現している。