[論文レビュー] WARPED PRODUCTS OF SINGULAR SEMIRIEMANNIAN MANIFOLDS

Ovidiu Cristinel Stoica|arXiv (Cornell University)|May 17, 2011

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 9被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、特異な半リーマン多様体の退化ワーピング積を導入し、特定のワーピング関数の条件を満たす場合、その積が半正則な半リーマン多様体をもたらすことを証明する。曲率不変量を因子多様体の不変量で表現し、この枠組みを用いて、因果的進化を保つ密度化されたアインシュタイン方程式と整合する半正則な特異性を持つ宇宙論的モデルやブラックホール解の構築に応用する。

ABSTRACT

This article studies the degenerate warped products of singular semi-Riemannian manifolds. One main result is that a degenerate warped product of semi-regular semi-Riemannian manifolds with the warping function satisfying a certain condition is a semi-regular semi-Riemannian manifold. The main invariants of the warped product are expressed in terms of those of the factor manifolds. Examples of singular semi-Riemannian manifolds which are semi-regular are constructed as warped products. Degenerate warped products are used to define spherical warped products. As applications, cosmological models and black holes solutions with semi-regular singularities are constructed. Such singularities are compatible with the densitized version of Einstein's equation, and don't block the time evolution. In following papers we will apply the technique developed here to resolve the singularities of the Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker, Schwarzschild, Reissner-Nordstrom and Kerr-Newman spacetimes.

研究の動機と目的

• 特異な半リーマン多様体における退化ワーピング積の幾何的枠組みを構築すること。
• 半正則多様体のワーピング積が半正則のままであるための条件を確立すること。
• ワーピング積の曲率不変量を因子多様体の不変量で表現すること。
• ワーピング積構成を用いて半正則な特異な半リーマン多様体の例を構築すること。
• 密度化されたアインシュタイン方程式と整合する半正則な特異性を持つ宇宙論的およびブラックホール解へのこの形式主義の応用。

提案手法

• 本稿では、特定の微分可能性および非退化性条件を満たすワーピング関数を用いて退化ワーピング積を定義する。
• 因子多様体の接続および曲率の言及で、ワーピング積のリーマン接続および曲率テンソルを導出する。
• 計量テンソルが滑らかだが退化する可能性がある半正則な半リーマン多様体に焦点を当てる。
• 球対称なワーピング積を、ワーピング積構成の特別な場合として導入する。
• 密度化されたアインシュタイン方程式の解として、半正則な特異性を持つ解を構築するためにこの枠組みを応用する。
• この方法により、特異性が存在しても時間発展が遮断されないことが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半正則な半リーマン多様体の退化ワーピング積が、どのような条件下で自身も半正則になるか？
• RQ2 ワーピング積の曲率不変量は、因子多様体の不変量をどのように表現できるか？
• RQ3 退化ワーピング積を用いて、半正則な特異性を持つ宇宙論的時空をモデル化できるか？
• RQ4 この幾何的枠組み内に、半正則な特異性を持つブラックホール解は存在するか？
• RQ5 このような特異性は、密度化されたアインシュタイン方程式と整合的であり、時間発展を遮害しないか？

主な発見

• ワーピング関数が特定の微分可能性および非消滅条件を満たす場合、半正則な半リーマン多様体の退化ワーピング積は半正則である。
• ワーピング積の曲率不変量は、基底多様体およびファイバ多様体の不変量を完全に用いて表現可能である。
• ワーピング積として構成された、半正則な特異な半リーマン多様体の例が成功裏に構築された。
• ワーピング積形式主義を用いて、半正則な特異性を持つ宇宙論的モデルおよびブラックホール解が導出された。
• これらの特異性は密度化されたアインシュタイン方程式と整合的であり、時間発展を遮断せず、物理的予測可能性を保った。
• この枠組みは、フレリッドマン＝リーマン＝ロバートソン＝ウォーカー時空、シュバルツシルト時空、ライスナー＝ノールストロム時空、およびカー＝ニューマン時空といった主要な時空における特異性の解決に向けて拡張される予定である。