[論文レビュー] Wasserstein stability estimates for covariance-preconditioned Fokker-Planck equations

José A. Carrillo, Urbain Vaes|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、最適輸送理論を用いて、導出不能な逆問題に現れる共分散事前条件付きFokker-Planck方程式のWasserstein安定性推定を確立する。ノイズが存在する場合（$ \sigma > 0$）には指数的収束が証明され、ノイズが存在しない場合（$ \sigma = 0$）には真の解におけるDiracデルタへの代数的収束が示され、線形前方モデルの場合の未解決問題が解決される。

ABSTRACT

We study the convergence to equilibrium of the mean field PDE associated with the derivative-free methodologies for solving inverse problems. We show stability estimates in the euclidean Wasserstein distance for the mean field PDE by using optimal transport arguments. As a consequence, this recovers the known convergence towards equilibrium estimates in the case of a linear forward model.

研究の動機と目的

• 導出不能な逆問題ソルバーに用いられる平均場PDEの2-Wasserstein距離における定量的安定性推定を確立すること。
• ノイズが存在しない場合（$\\sigma = 0$）の線形前方モデルケースにおける均衡への収束に関する未解決問題を解決すること。
• 粒子系からの均衡への推定を平均場PDE設定に一般化すること。
• 最適輸送の議論を用いて[15]の収束結果を回復・拡張すること。
• Fokker-Planck方程式を用いたEnsemble Kalmanに基づく逆問題ソルバーの厳密な平均場記述を提供すること。

提案手法

• 分析は、共分散事前条件付きの勾配を有する非局所的Fokker-Planck方程式の2-Wasserstein距離$W_2$における安定性推定を導出するために最適輸送理論を用いる。
• 主な方程式は$\partial_t f = \nabla \cdot \left( \mathcal{C}(f_t) \left( \nabla \Phi_R(\mathbf{u};\mathbf{y}) f + \sigma \nabla f \right) \right)$であり、$\mathcal{C}(f_t)$は密度$f_t$の共分散作用素である。
• 著者たちは相対エントロピーの議論とリャプノフ関数を用いて、2つの解間のWasserstein距離の時間発展を制御する。
• Wasserstein距離$W_2(f_t^1, f_t^2)$の微分不等式を導出し、$W_2(f_t^1, f_t^2) \leq C(f_0^1, f_0^2; G, \Gamma) \cdot \gamma(t) \cdot W_2(f_0^1, f_0^2)$という境界を得る。
• 時間発展の減衰率$\gamma(t)$は、共分散作用素の固有値性質と行列ノルムの不等式を用いて、$\sigma > 0$では指数的、$\sigma = 0$では代数的であることが示される。
• 時間発展における共分散行列の制御に、行列の平方根とFrobeniusノルムの同値性に関する技術的補題が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共分散事前条件付き逆問題の平均場Fokker-Planck方程式は、初期データの摂動に対して2-Wasserstein距離で安定性を示すか？
• RQ2 前方モデルが線形でノイズパラメータ$\sigma > 0$のとき、Fokker-Planck方程式の均衡への収束速度は何か？
• RQ3 最適輸送手法を用いて、$\sigma > 0$の均衡への推定を$\sigma = 0$のケースに回復・拡張できるか？
• RQ4 $\sigma = 0$のとき、Fokker-Planck方程式の解は真の解$\mathbf{u}_0$におけるDiracデルタに収束するか？ もしそうなら、その収束速度は何か？
• RQ5 安定性定数$C(f_0^1, f_0^2; G, \Gamma)$が初期モーメントおよびモデルパラメータに依存する仕組みが収束挙動に与える影響は何か？

主な発見

• 論文は、$\gamma(t)$が$\sigma > 0$では指数的に減衰する形で$W_2(f_t^1, f_t^2) \leq C(f_0^1, f_0^2; G, \Gamma) \cdot \gamma(t) \cdot W_2(f_0^1, f_0^2)$という安定性推定を確立する。
• $\sigma > 0$の場合、均衡解はガウス分布であり、最適輸送の議論により[15]の均衡への収束結果が回復される。
• $\sigma = 0$の場合、解は真の解$\mathbf{u}_0 = B G^T \Gamma^{-1} \mathbf{y}$における代数的収束を示し、[21]の粒子系結果を一般化する。
• 安定性定数$C(f_0^1, f_0^2; G, \Gamma)$は、初期密度$f_0^1$および$f_0^2$の一次および二次モーメント、およびモデルパラメータ$G$, $\Gamma$, $\Gamma_0$にのみ依存する。
• 解析により、均衡へのWasserstein距離が$W_2(f_t, f_\infty) \geq |\boldsymbol{\delta}(t)|$を満たし、$\boldsymbol{\delta}(t)$が平均の差であることが示され、この境界が鋭いことが証明される。
• 著者たちは行列不等式$|\mathit{M}_1^{1/2} - \mathit{M}_2^{1/2}|_F \leq C(d) \cdot \max(|\mathit{M}_1^{1/2}|_F, |\mathit{M}_2^{1/2}|_F) \cdot |\mathit{M}_1^{1/2} - \mathit{M}_2^{1/2}|_F$を導出し、共分散行列の時間発展を制御するために用いる。