[論文レビュー] Wavelets and spectral triples for higher-rank graphs

Carla Farsi, Elizabeth Gillaspy+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、定常的 $k$-Bratteli 図から導かれる超距離コントール集合に基づいて、2つの新しいスペクトル三つ組を構成することにより、高ランクグラフにおけるウェーブレット分解とスペクトル三つ組の間に深い関係を確立する。ラプラス＝ベルトラミ作用素およびディラック作用素の固有空間が、無限路空間におけるウェーブレット分解と正確に一致し、関連する測度はスケーリングされたハウスドルフ測度であることが証明される。

ABSTRACT

In this paper, we present two new ways to associate a spectral triple to a higher-rank graph $Λ$. Moreover, we prove that these spectral triples are intimately connected to the wavelet decomposition of the infinite path space of $Λ$ which was introduced by Farsi, Gillaspy, Kang, and Packer in 2015. We first introduce the concept of stationary $k$-Bratteli diagrams, to associate a family of ultrametric Cantor sets to a finite, strongly connected higher-rank graph $Λ$. Then we show that under mild hypotheses, the Pearson-Bellissard spectral triples of such Cantor sets have a regular $ζ$-function, whose abscissa of convergence agrees with the Hausdorff dimension of the Cantor set, and that the measure $μ$ induced by the associated Dixmier trace agrees with the measure $M$ on the infinite path space $Λ^\infty$ of $Λ$ which was introduced by an Huef, Laca, Raeburn, and Sims. Furthermore, we prove that $μ= M$ is a rescaled version of the Hausdorff measure of the ultrametric Cantor set. From work of Julien and Savinien, we know that for $ζ$-regular Pearson-Bellissard spectral triples, the eigenspaces of the associated Laplace-Beltrami operator constitute an orthogonal decomposition of $L^2(Λ^\infty, μ)$; we show that this orthogonal decomposition refines the wavelet decomposition of Farsi et al. In addition, we generalize a spectral triple of Consani and Marcolli from Cuntz-Krieger algebras to higher-rank graph $C^*$-algebras, and prove that the wavelet decomposition of Farsi et al.~describes the eigenspaces of its Dirac operator.

研究の動機と目的

• 高ランクグラフと超距離コントール集合を用いて、$k$-Bratteli 図から導かれる超距離コントール集合を用いてスペクトル三つ組を関連付ける。
• ペアソン＝ベリッサルドのスペクトル三つ組のゼータ関数の収束の横座標が、コントール集合のハウスドルフ次元に等しいことを示す。
• スペクトル三つ組におけるディクスミエ測度が、an Huef らが導入した無限路空間 $\Lambda^\infty$ 上の測度 $M$ と一致することを証明する。
• ラプラス＝ベルトラミ作用素の固有空間が、Farsi らのウェーブレット分解を精緻化することを示す。
• コンサニ＝マルコリのスペクトル三つ組を高ランクグラフ $C^*$-代数へ一般化し、その固有空間がウェーブレット分解と一致することを示す。

提案手法

• 有限で強連結な高ランクグラフ $\Lambda$ から定常的 $k$-Bratteli 図を構成する。
• $k$-Bratteli 図の構造を用いて、無限路空間 $\Lambda^\infty$ 上に超距離コントール集合 $X_{\mathcal{B}}$ を定義する。
• これらの超距離コントール集合にペアソン＝ベリッサルドのスペクトル三つ組を適用し、そのゼータ関数およびディクスミエトレースを分析する。
• ゼータ関数の収束の横座標がコントール集合のハウスドルフ次元に等しいことを証明する。
• ハウスドルフ測度のスケーリングにより、ディクスミエトレースによって誘導される測度 $\mu$ が $\Lambda^\infty$ 上の測度 $M$ と一致することを示す。
• ジュリオンとサヴィニエンの理論を用いて、ラプラス＝ベルトラミ作用素の固有空間と $L^2(\Lambda^\infty, \mu)$ 上のウェーブレット分解との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランクグラフから超距離コントール集合を用いてスペクトル三つ組をどのように構成できるか？
• RQ2 ペアソン＝ベリッサルドのスペクトル三つ組のゼータ関数と、関連するコントール集合のハウスドルフ次元との関係は何か？
• RQ3 スペクトル三つ組におけるディクスミエトレース測度は、無限路空間 $\Lambda^\infty$ 上の測度 $M$ と一致するか？
• RQ4 ラプラス＝ベルトラミ作用素の固有空間は、$L^2(\Lambda^\infty, \mu)$ 上のウェーブレット分解とどのように関係するか？
• RQ5 コンサニ＝マルコリの Cuntz-Krieger 代数用スペクトル三つ組を高ランクグラフ $C^*$-代数へ一般化できるか？また、その固有空間はウェーブレット分解と一致するか？

主な発見

• ペアソン＝ベリッサルドのスペクトル三つ組が超距離コントール集合に作用するとき、ゼータ関数の収束の横座標は、その集合のハウスドルフ次元に等しい。
• ディクスミエトレースによって誘導される測度 $\mu$ は、an Huef らが導入した $\Lambda^\infty$ 上の測度 $M$ と正確に一致する。
• $\mu = M$ は、超距離コントール集合上のハウスドルフ測度のスケーリング版である。
• ラプラス＝ベルトラミ作用素の固有空間は、$L^2(\Lambda^\infty, \mu)$ の正規直交分解をなしており、Farsi らのウェーブレット分解を精緻化する。
• 高ランクグラフ用に一般化されたコンサニ＝マルコリのスペクトル三つ組の固有空間は、正確にウェーブレット分解 $\mathscr{V}_0 \oplus \bigoplus_{q=0}^\infty \mathcal{W}_q$ と一致する。
• ディラック作用素の固有空間は、ウェーブレット部分空間 $\mathcal{W}_q = \mathcal{R}_{q+1} \cap \mathcal{R}_q^\perp$ および $\mathscr{V}_0 = \mathcal{R}_0 \oplus \mathcal{R}_{-1}$ と同型である。