[論文レビュー] Weak amenability of Fourier algebras on compact groups

Brian Forrest, Ebrahim Samei+1 more|ArXiv.org|Aug 13, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクト群 G のフーリエ代数 A(G) が弱アーベル的であるための必要十分条件として、恒等元の生成する連結成分 Gₑ がアーベル的であること、すなわち A(G) が弱アーベル的であることと Gₑ がアーベル的であることの同値性を確立している。この結果は、反対角上でのスペクトル合成およびハイパータウバリアン性との関係を通じて証明され、小領域を有する非コンパクト群や最大のほとんど周期的群に対しても拡張され、作用素代数における調和解析における長年の予想を解決する。

ABSTRACT

We give for a compact group G, a full characterisation of when its Fourier algebra A(G) is weakly amenable: when the connected component of the identity G_e is abelian. This condition is also equivalent to the hyper-Tauberian property for A(G), and to having the anti-diagonal D^v={(s,s^{-1}):s is in G} being a set of spectral synthesis for A(GXG). We show the relationship between amenability and weak amenability of A(G), and (operator) amenability and (operator) weak amenability of A_D(G), an algebra defined by the authors in arXiv:0705.4277. We close by extending our results to some classes of non-compact, locally compact groups, including small invariant neighbourhood groups and maximally weakly almost periodic groups.

研究の動機と目的

• コンパクト群 G に対して A(G) が弱アーベル的であることと、G の恒等元の生成する連結成分 Gₑ がアーベル的であることの必要十分条件であるという予想を解決すること。
• A(G) の弱アーベル性、A(G×G) における反対角 Δ̌ のスペクトル合成、およびハイパータウバリアン性の間の同値性を確立すること。
• 弱アーベル性の特徴づけを、コンパクト群に限らず、小領域を有する局所コンパクト群や最大のほとんど周期的群を含む非コンパクトクラスへ拡張すること。
• A(G) と関連代数 AΔ(G) におけるアーベル性、弱アーベル性、作用素空間構造の関係を明確にすること。

提案手法

• A(G) が弱アーベル的であるならば、Gₑ はアーベル的でなければならないことを、イデアル論的およびスペクトル合成の技法を用いて証明した。
• A(G) の弱アーベル性が、A(G×G) における反対角 Δ̌ が局所合成の集合であることと同値であることを、正則性およびイデアル構造の性質を活用して確立した。
• 作用素空間の枠組みを用いて、A(G) の弱アーベル性が A(G×G) 内のイデアル I′(Δ̌) の作用素的弱アーベル性と関係していることを示した。
• 文献[10] における代数 AΔ(G) の結果を応用し、コンパクト群に対して A(G) の本質的構造的情報を AΔ(G) が捉えていることを示した。
• 不変部分群 H ≅ A×K（A はアーベル的、K はコンパクト）を持つ非コンパクト群に対して、不変性および自己同型不変性を用いて結果を拡張した。
• 分区関数および局所合成の議論を用いて、開部分群から全体の群 G へグローバル性質を持ち上げた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト群 G のフーリエ代数 A(G) がいつ弱アーベル的になるか？
• RQ2 A(G) の弱アーベル性を保証する G における正確な構造的条件は何か？
• RQ3 A(G) において、弱アーベル性、反対角 Δ̌ におけるスペクトル合成、およびハイパータウバリアン性の関係は何か？
• RQ4 弱アーベル性の特徴づけを、小領域を有する群のような非コンパクトクラスへ拡張できるか？
• RQ5 連結成分 Gₑ は A(G) の弱アーベル性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• コンパクト群 G に対して、A(G) が弱アーベル的であることと、Gₑ がアーベル的であることとは同値である。
• A(G) が任意の弱アーベル的イデアルをもつならば、Gₑ はアーベル的でなければならない。これは、条件がイデアルに対しても必要であることを示している。
• 反対角 Δ̌ = {(s,s⁻¹) : s ∈ G} が A(G×G) において局所合成の集合であることと、A(G) が弱アーベル的であることとは同値である。
• A(G) のハイパータウバリアン性が成り立つのは、Gₑ がアーベル的であるときであり、このとき弱アーベル性が導かれる。
• 開部分群 H ≅ A×K（A はアーベル的、K はコンパクト）をもつ群 G に対して、A(G) の弱アーベル性は Gₑ がアーベル的であることと同値である。
• この結果は、小領域を有する群や最大のほとんど周期的群に対しても拡張可能であり、同じ特徴づけが成り立つ。