[論文レビュー] Fourier algebra of a compact Lie group

Roger Plymen|ArXiv.org|Apr 2, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、コンパクトな連結なリー群 G のフーリエ代数 A(G) が弱アーベル的であるための必要十分条件として、G がアーベルであることであることを確立している。表現論およびルート系解析を用いて、非アーベルなコンパクトな連結なリー群（例：SU(2) や SO(3)）が非弱アーベル的フーリエ代数をもたらすことを証明し、ジョンソンの先行結果を一般化するとともに、半単純ランク1部分群への特徴付けを拡張している。

ABSTRACT

Let G be a compact connected Lie group. We prove that the Fourier algebra A(G) is weakly amenable if and only if G is abelian.

研究の動機と目的

• コンパクトな連結なリー群 G に対して、フーリエ代数 A(G) の弱アーベル性を特定すること。
• ジョンソンの A(G) の弱アーベル性に関する先行結果を拡張し、その成立条​​件を特徴付けること。
• 非アーベルなコンパクトなリー群の構造をそのリー代数およびルート系を用いて分析し、弱アーベル性の不成立を示すこと。
• 弱アーベル性がアーベルなコンパクトな連結なリー群にのみ成立するという明確な二分法を確立すること。

提案手法

• フーリエ代数 A(G) は、von Neumann 代数 vN(G) の前双対として定義され、可換なバナッハ代数である。
• アーベルな G に対しては、A(G) は Pontryagin 双対 Ĝ の群代数 ℓ¹(Ĝ) に等長同型であり、これは既知のアーベル的性質を持つ。
• 非アーベルな G に対しては、リー代数 L(G) が中心 c と導来代数 D(L(G)) に分解され、後者は半単純かつ非自明である。
• ルート系 R(G,T) に非ゼロのルートが存在することは、ランク1の半単純部分群 Sα ≅ SU(2) または SO(3) の構成を可能にする。
• G の既約表現 π を Sα に制限したときの解析を行い、最大トーラス上の特性関数が |m| < d を満たすことが示され、ここで d は π の次数である。
• この有界性を用いて、ジョンソン（1994）の注意を適用し、G が非アーベルであるとき A(G) が弱アーベル的でないことを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな連結なリー群 G のフーリエ代数 A(G) が弱アーベル的である条件は何か？
• RQ2 なぜ非アーベルなコンパクトな連結なリー群では弱アーベル性が成立しないのか？
• RQ3 G のルート系および導来部分群は、A(G) の弱アーベル性にどのように影響するか？
• RQ4 既約表現およびそれらがランク1部分群に制限されたときの役割は、弱アーベル性の特定にどのように寄与するか？
• RQ5 A(G) が弱アーベル的であるようなコンパクトな連結なリー群の完全な分類は存在するか？

主な発見

• フーリエ代数 A(G) が弱アーベル的であるための必要十分条件は、G がアーベルであることである。これは明確な二分法を確立する。
• アーベルなコンパクトな連結なリー群に対しては、A(G) ≅ ℓ¹(Ĝ) であり、これはアーベル的（したがって弱アーベル的）である。
• 非アーベルな場合、ルート系 R(G,T) に非ゼロのルートが存在することは、ランク1の半単純部分群 Sα ≅ SU(2) または SO(3) の存在を意味する。
• G の任意の既約表現 π を Sα に制限すると、|m| < d を満たす特性関数が得られ、ここで d は π の次数である。
• このスペクトル的有界性を用いて、ジョンソンの基準を適用でき、G が非アーベルであるとき A(G) が弱アーベル的でないことが証明される。
• 系により、A(G) が弱アーベル的でないのは SO(2) を除くすべてのコンパクトな連結なリー群に当てはまることが確認される。