[論文レビュー] Weak convergence rates for numerical approximations of stochastic partial differential equations with nonlinear diffusion coefficients in UMD Banach spaces

Mario Hefter, Arnulf Jentzen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、UMDバナッハ空間における非線形拡散係数を有する非線形確率偏微分方程式（SPDE）の指数型Euler時刻離散近似について、基本的に鋭い弱収束速度を確立する。タイプ2を有するUMD空間における弱い伊藤公式を活用することで、任意の $\varepsilon > 0$ に対して弱収束速度 $\frac{1}{2} - \varepsilon$ を証明し、空間-時間ホワイトノイズによって駆動される非アフィン拡散係数に関する文献における長年のギャップを解消する。

ABSTRACT

Strong convergence rates for numerical approximations of semilinear stochastic partial differential equations (SPDEs) with smooth and regular nonlinearities are well understood in the literature. Weak convergence rates for numerical approximations of such SPDEs have been investigated for about two decades and are still not yet fully understood. In particular, no essentially sharp weak convergence rates are known for temporal or spatial numerical approximations of space-time white noise driven SPDEs with nonlinear multiplication operators in the diffusion coefficients. In this article we overcome this problem by establishing essentially sharp weak convergence rates for exponential Euler approximations of semilinear SPDEs with nonlinear multiplication operators in the diffusion coefficients. Key ingredients of our approach are applications of the mild Itô type formula in UMD Banach spaces with type 2.

研究の動機と目的

• 拡散係数に非線形乗算作用素を有するSPDEの時間的または空間的数値近似における、本質的に鋭い弱収束速度の欠如を解消すること。
• 従来の研究の主な焦点であったアフィン拡散係数にとどまらず、既存の弱収束理論を拡張すること。
• 空間-時間ホワイトノイズによって駆動されるSPDEに対して、UMDバナッハ空間における指数型Eulerスキームの収束速度を確立すること。
• 無限次元確率系における弱収束を分析するための厳密な枠組みを、タイプ2を有するUMD空間における弱い伊藤公式を用いて構築すること。

提案手法

• タイプ2を有するUMDバナッハ空間における弱い伊藤型公式の応用により、弱収束推定値を導出する。
• 非線形拡散係数を有するSPDEに対して、指数型Euler時刻離散近似を用いる。
• 駆動項および拡散係数が4回連続的に微分可能かつグローバルにリプシッツ連続であると仮定する。
• 正規フィルトレーションおよび円形ウィーナー過程の下で、$L^p((0,1);\mathbb{R})$-値過程としてSPDEを分析する。
• UMD空間における補間および最大正則性推定値を用いて、モーメントバウンドおよびパスワイズ正則性を確立する。
• 摂動論法およびUMD空間における確率積分理論を用いて、弱誤差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 UMDバナッハ空間における非線形拡散係数を有するSPDEの指数型Euler時刻離散近似において、どの程度の弱収束速度が達成可能か？
• RQ2 拡散係数が非線形（非アフィン）である場合、空間-時間ホワイトノイズによって駆動されるSPDEに対して、本質的に鋭い弱収束速度を確立できるか？
• RQ3 タイプ2を有するUMDバナッハ空間における弱い伊藤公式は、無限次元設定において弱収束速度の導出をどのように可能にするか？
• RQ4 導出された弱収束速度の鋭さは何か？また、$\frac{1}{2} - \varepsilon$ を超えて改善可能か？

主な発見

• 本稿は、時間ステップ数 $N$ および任意の $\varepsilon > 0$ を用いて、指数型Euler近似の弱収束速度 $N^{\varepsilon - \frac{1}{2}}$ を確立する。
• 線形駆動項および定数拡散係数の場合の下界と一致することから、$\frac{1}{2} - \varepsilon$ の収束速度は本質的に鋭いことが示される。
• 特別な場合 $f(x) = 0$, $b(x) = 1$, および $\xi \equiv 0$ に対して、弱誤差は $c \cdot N^{-\frac{1}{2}} \leq \left| \mathbb{E}[\varphi(X_T)] - \mathbb{E}[\varphi(Y_N^N)] \right| \leq C \cdot N^{\varepsilon - \frac{1}{2}}$ を満たす $c, C > 0$ が存在し、収束速度の鋭さが証明される。
• 本手法は、線形陰的Euler近似など他のスキームに対しても拡張可能であり、理論的枠組みの広範な適用可能性を示唆する。
• 本分析は、タイプ2を有するUMD空間における弱い伊藤公式に依存しており、無限次元における非線形性および確率積分の取り扱いを可能にする。