[論文レビュー] Weak disorder for low dimensional polymers: The model of stable laws

Francis Comets|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$α$-安定分布に従う長距離ジャンプをもつ確率的環境下の有向高分子鎖を検討し、最近接隣接ウォークの枠組みを超えて弱い不純度理論を拡張する。重い尾を持つジャンプ分布の下で、低次元（$d=1$, $α<1$；$d=2$, $α<2$）においても弱い不純度—つまり局在化の欠如—が成立することを証明しており、短距離ウォークに対する古典的結果と矛盾する。

ABSTRACT

In this paper, we consider directed polymers in random environment with long range jumps in discrete space and time. We extend to this case some techniques, results and classifications known in the usual short range case. However, some properties are drastically different when the underlying random walk belongs to the domain of attraction of an $\a$-stable law. For instance, we construct natural examples of directed polymers in random environment which experience weak disorder in low dimension.

研究の動機と目的

• 離散的時空間における長距離ジャンプをもつ有向高分子鎖の弱不純度および強不純度分類を拡張すること。
• 重い尾を持つジャンプ分布（安定分布）が低次元における局在化転移に与える影響を調査すること。
• 最近接隣接ウォークに対する古典的結果に挑戦する低次元高分子鎖における弱不純度の自然な例を構成すること。
• 弱不純度と二つの独立したランダムウォークの無限回の出会いとの間の関係を明確にすること。
• 自由エネルギーと高分子鎖の質量集中度を用いて、局在化／非局在化を特徴づけるフェーズダイアグラムを構築すること。

提案手法

• 長距離ジャンプ分布のモデル化に、$α$-安定分布の吸引域を用いる。
• レプリカ結合法と分配関数のモーメントに基づく上限を用いて弱不純度を分析する。
• 弱不純度の十分条件を導出するため、$\lambda(\beta\theta) + \ln \sum_x q(x)^\theta < \lambda(\beta)$ の条件を用いる。
• 自由エネルギーの等価性 $p = \lambda$ が局在化の欠如を、$p < \lambda$ が局在化をそれぞれ特徴づけるという等価性に依存する。
• 二つの独立したランダムウォークの出会い回数を特徴づける量 $I_n = \mu_{n-1}^{\otimes 2}(\omega_n = \tilde{\omega}_n)$ を用いる。
• 弱不純度を特定する基準 $\sum_n I_n = \infty$ a.s. を適用し、$W_\infty = 0$ と結びつけることで、局在化の欠如と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基礎となるランダムウォークが安定分布に従う長距離ジャンプをもつ場合、低次元における有向高分子鎖で弱不純度が成立しうるか。
• RQ2 安定分布の指数 $\alpha$ が低次元における非局在化相の存在にどのように影響するか。
• RQ3 このモデルにおいて、弱不純度と二つの独立したランダムウォークの無限回の出会いとの関係は何か。
• RQ4 最近接隣接ウォークにおいて1次元および2次元で常に強不純度が成立するという標準的結果が、長距離ジャンプモデルに拡張可能か。
• RQ5 $\beta$ と $\alpha$ を用いて、非局在化および局在化の領域を区別するフェーズダイアグラムを構築可能か。

主な発見

• $d=1$ および $\alpha<1$、または $d=2$ および $\alpha<2$ の場合、条件（4.17）の下ですべての $\beta$ に対して弱不純度が成立し、局在化の欠如が示される。
• 次元 $d=1$、$\alpha<1$ において、臨界逆温度 $\beta_c > 0$ であり、非自明な相転移が存在する。
• 条件 $\sum_n I_n = \infty$ a.s. は $W_\infty = 0$ と同値であり、これは弱不純度および局在化の欠如を特徴づける。
• $p = \lambda$ のとき高分子鎖は非局在化する。$p < \lambda$ のとき高分子鎖は局在化する。これにより二分法的性質が確立される。
• $d \geq 3$ の場合、結果は最近接隣接ウォークの場合と定性的に類似しているが、低次元における振る舞いは根本的に異なる。
• 質量 $J_n = \max_x \mu_{n-1}(\omega_n = x)$ は、局在化の欠如下で a.s. $J_n \to 0$ を満たし、局在化下では $\liminf_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n J_t > 0$ が成り立つ。