[論文レビュー] Weak error estimates for trajectories of SPDEs for Spectral Galerkin discretization

Charles-Édouard Bréhier, Martin Hairer+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、スペクトルガラーキン離散化による半線形SPDE（例：確率的熱方程式や減衰波動方程式）に対して、[0, T] 上の全軌道を近似する際の弱誤差が、2つの条件を満たす場合に強さ誤差率の2倍であることを確立している。条件は (1) 共分散作用素が生成作用素と可換である場合、および (2) 非可換の場合、交換子項の解析を通じてのものである。主な革新は、イト写像と2階テイラー展開を用いて、確率的畳み込みの誤差を弱収束に転送することにあり、弱収束への誤差伝播を可能としている。

ABSTRACT

We consider stochastic semi-linear evolution equations which are driven by additive, spatially correlated, Wiener noise, and in particular consider problems of heat equation (analytic semigroup) and damped-driven wave equations (bounded semigroup) type. We discretize these equations by means of a spectral Galerkin projection, and we study the approximation of the probability distribution of the trajectories: test functions are regular, but depend on the values of the process on the interval $[0,T]$. We introduce a new approach in the context of quantative weak error analysis for discretization of SPDEs. The weak error is formulated using a deterministic function (Itô map) of the stochastic convolution found when the nonlinear term is dropped. The regularity properties of the Itô map are exploited, and in particular second-order Taylor expansions employed, to transfer the error from spectral approximation of the stochastic convolution into the weak error of interest. We prove that the weak rate of convergence is twice the strong rate of convergence in two situations. First, we assume that the covariance operator commutes with the generator of the semigroup: the first order term in the weak error expansion cancels out thanks to an independence property. Second, we remove the commuting assumption, and extend the previous result, thanks to the analysis of a new error term depending on a commutator.

研究の動機と目的

• スペクトルガラーキン空間離散化の下で、固定時刻での評価にとどまらず、SPDEの全軌道の弱収束率を確立すること。
• 連続軌道空間 E = C([0, T], H) における弱誤差推定という課題を解決すること。これは点での評価よりも複雑である。
• 有限次元SDEにおける「強収束率の2倍」というよく知られた結果を、空間的に相関するノイズを有する無限次元SPDEへと拡張すること。
• イト写像と2階テイラー展開に基づく、新たな解析的枠組みを構築し、弱誤差と確率的畳み込みのスペクトル近似を関連付けること。
• 共分散作用素と生成作用素が可換でない場合に、交換子に依存する新たな誤差項を解析することで、弱収束率が依然として強収束率の2倍であることを証明すること。

提案手法

• ヒルベルト空間における確率的進化方程式フレームワークを用いてSPDEを定式化：dX(t) = AX(t)dt + F(X(t))dt + dW_Q(t)。
• 線形作用素Aの最初のN固有ベクトルに沿った正規直交射影P_Nを用いたスペクトルガラーキン射影を適用し、近似解X_Nを導出する。
• E = C([0, T], H) を連続軌道空間として、C_b^2(E, R) に属するテスト関数ϕを用いて弱誤差を定義する。
• F=0の場合の確率的畳み込みから全解への決定的写像であるイト写像を導入し、テイラー展開を用いて誤差を転送可能にする。
• イト写像の2階テイラー展開を用い、弱誤差を確率的畳み込みのスペクトル近似誤差を含む項に分解する。
• 非可換な場合に生じる交換子[B, P_N]を解析し、ファクタライゼーションおよび確率積分技法を用いて、対応する誤差過程のモーメントバウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトルガラーキン離散化におけるSPDE軌道の弱収束率が、共分散作用素と生成作用素が可換ではない場合でも、強収束率の2倍であることを示せるか？
• RQ2 標準的な点での弱誤差技法が失敗する連続軌道空間における弱誤差をどのように解析できるか？
• RQ3 イト写像は、確率的畳み込みからの誤差を全軌道の弱誤差へとどのように転送するか？
• RQ4 非可換な場合に、交換子項 [B, P_N] はどのように制御され、弱収束率が保たれるか？
• RQ5 この2倍のレートを達成するためのノイズおよび初期データの正確な正則性と可積分性条件は何か？

主な発見

• 加法的で空間的に相関するノイズを有するSPDEに対して、軌道空間C([0, T], H)における弱誤差は、定数倍の和で抑えられる。その項は、O(λ_N^{-(s_0 - s)/2})、O(λ_N^{-(1 - (s_F + s + ε)/2)})、およびO(λ_N^{-(1/2 - s - ε)}) である。ここでλ_Nは生成作用素のN番目の固有値である。
• 共分散作用素Qが生成作用素Aと可換である場合、弱誤差展開の1次項は独立性の性質により消滅し、明確なレート2倍が得られる。
• 非可換な場合、交換子に起因する誤差項が新たなバウンドにより制御されることを示し、E∥ρ_N∥^2_{∞,s,T} ≤ C_{ε,s,T} λ_N^{-(1 - s - ε)} を任意のε ∈ (0, 1/2 - s) に対して得た。
• 交換子項のバウンドは、ファクタライゼーション法と (t - r)^{-ε/2} および作用素[B, P_N]を含むガウス過程のモーメント推定を用いて導出された。
• 解析により、可換および非可換な両設定において、適切なノイズおよび初期データの正則性と減衰仮定のもとで、弱収束率が正確に強収束率の2倍であることが確認された。
• 初期条件およびテスト関数が十分に正則であれば、この結果は放物型（例：確率的熱方程式）および双曲型（例：減衰波動方程式）SPDEの両方に対して成り立つ。