[論文レビュー] Weak-field limit of conformal Weyl gravity

O. V. Barabash, Hanna Pyatkovska|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2007

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、マンハイムが一般相対性理論の代替理論として提唱した、共形的ウェイリーグラビティの弱い場の極限を検討している。定数スカラー場 $ S_0 $ を持つ物理的ゲージにおける球対称で静的な物質分布を用いて、場の運動方程式を解き、得られた計量が光の屈折と軌道力学に関して誤った予測をし、太陽系の制約に反することを示した。主な結果は、共形的ウェイリーグラビティが太陽系の観測データと整合しないこと、特に $ a(r) $ 計量成分に符号の誤りがあり、$ kR \gg 1 $ および $ kR \simeq 1 $ の領域で物理的に不自然な振る舞いを示すことにある。

ABSTRACT

We study the weak-field limit of the conformal Weyl gravity suggested by Mannheim as an alternative to Einstein's General Relativity modeling both dark matter and dark energy. We solve the field equations of the theory in the weak-field approximation for an arbitrary spherically symmetric static distribution of matter in the physical gauge with constant scalar field. Analysing the obtained solution, we conclude that the conformal theory of gravitaty is inconsistent with the Solar-system observational data.

研究の動機と目的

• 太陽系の文脈において、共形的ウェイリーグラビティが一般相対性理論の代替理論として妥当かどうかを、その弱い場の極限を分析することにより評価すること。
• 定数スカラー場 $ S_0 $ を持つ物理的ゲージにおける球対称で静的な質量分布に対する共形的ウェイリーグラビティの場の運動方程式を解くこと。
• 得られた計量が、太陽系の観測に必要なように弱い場の極限でシュバルツシルト解を再現するかどうかをテストすること。
• 特に光の屈折と近日点移動を含め、重力レンズ効果と惑星軌道の予測を評価すること。

提案手法

• 静的かつ球対称な質量分布に対する共形的ウェイリーグラビティの場の運動方程式を、弱い場・線形化近似で解くこと。
• 標準的な測地線運動を回復し、方程式を単純化するために、物理的ゲージ $ S = S_0 = \text{const} $ を用いること。
• 内部解への一致を容易にするために、計量を $ ds^2 = C^2(\rho)[-D(\rho)dt^2 + d\rho^2/D(\rho) + \rho^2 d\Omega_2] $ の形で表現すること。
• 場の運動方程式の積分により、$ \sin(kr) $ と $ \cos(kr) $ を含む振動項を伴う $ a(r) $ および $ b(r) $ の計量成分を導出すること。
• ニュートン力学および観測と整合するかを評価するため、$ kr \ll 1 $、$ kR \gg 1 $、$ kR \simeq 1 $ の3つの領域における計量の振る舞いを分析すること。
• 積分公式 $ \Delta\varphi = \rho \int_\rho^\infty \frac{a(r) - r b'(r)}{r(r^2 - \rho^2)^{1/2}} dr $ を用いて、光の相対論的屈折角を評価すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形的ウェイリーグラビティの弱い場の極限は、太陽系においてシュバルツシルト計量を再現するか？
• RQ2 この理論は正しいニュートンポテンシャルと重力赤方偏移を予測するか？
• RQ3 予測される光の屈折角は、観測値 $ 2r_g / \rho $ と一致するか？
• RQ4 共形的ウェイリーグラビティが予測する計量のもとで、惑星軌道は安定で閉じているか？
• RQ5 特に $ kR \gg 1 $ および $ kR \simeq 1 $ の領域において、計量の振る舞いはパrameter $ kR $ にどのように依存するか？

主な発見

• 弱い場の極限において、計量成分 $ a(r) $ の符号が誤っており、これにより共形的平坦計量が得られ、相対論的光の屈折角が誤った予測をすることになる。
• この理論が予測する屈折角は、標準的な $ 2r_g / \rho $ よりも $ \sim k^2 \rho^2 \ln(1/k\rho) $ 倍小さく、観測と整合しない。
• $ kR \gg 1 $ の領域では、計量成分 $ b(r) $ が負になり、$ -3M/(2\pi S_0^2 r) $ に比例するため、引力ではなく反発力が働くことになる。
• $ kR \simeq 1 $ の領域では、$ \sin(kr) $ と $ \cos(kr) $ の振動項が、閉じず、著しくずれた軌道を生じさせ、観測された惑星および彗星の運動と整合しない。
• 理論は正しいニュートンポテンシャル $ \Phi = -GM/r $ を再現できない。これは、$ G = 1/(4\pi S_0^2) $ の関係が導出された計量成分と整合しないからである。
• 理論は太陽系の観測と根本的に不整合であるため、一般相対性理論の代替理論として無効であると結論づけられ、フラナガンの先行結果を確認するとともに、マンハイムの主張とは矛盾する。