[論文レビュー] Weak Hopf algebra symmetries of C^*-algebra inclusions

Kornél Szlachányi|ArXiv.org|Dec 31, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元自己共役場理論および1次元量子格子系におけるスーパー選択領域の融合則における非整数次元の問題を解決するため、半単純ホップ代数の一般化としてC*-弱ホップ代数を導入する。有限指数・深さ2のC*-代数の包含関係が、正規作用によるC*-弱ホップ代数の作用から生じることを示す再構成定理を証明している。

ABSTRACT

After a summary on module algebra actions of C^*-weak Hopf algebras we outline the proof of a reconstruction theorem stating that every finite index depth 2 inclusion N < M of unital C^*-algebras with finite dimensional centers is isomorphic to the invariant subalgebra inclusion M^A < M with respect to a regular weak Hopf algebra action. The proof uses the language of C^*-2-categories.

研究の動機と目的

• 2次元CFTおよび1次元量子系のスーパー選択領域における非整数乗数を有する融合則を、半単純ホップ代数が実現できない問題に対処する。
• 融合係数Npq^rが非負整数であるとき、次元方程式∑Npq^r dr = dp dq が次元drに対して整数解を持たないという障害を克服する。
• 余乗法がコassociativeではあるが単位元を保存しないC*-弱ホップ代数を提案し、dim(D⊗D′) ≤ dim D · dim D′ を可能にすることで、このような融合則に対する一貫性のある表現理論を可能にする。
• 再構成定理を確立：中心が有限次元である有限指数・深さ2のC*-代数の包含関係N ⊂ Mは、N = M^Aを満たすC*-弱ホップ代数Aの正規作用から生じる。
• C*-弱ホップ代数の構造と双対性を特徴づけ、それらが以前の構成を一般化し、ホップバンドロイドの有限次元版であることを示す。

提案手法

• 体K上の弱バイ代数および弱ホップ代数を定義し、コアソシエイティビティを満たす余乗法Δ、コユニットε、および代数的構造とコアルゲブラ的構造の整合性を含む公理を提示する。
• C*-ノルム、対合*、ハール積分を追加することでC*-弱ホップ代数を定義し、正定値性と余乗法および反対合との整合性を保証する。
• 源写像s: B^op → Aおよび終域写像t: B → Aを定義し、それらの像として得られる部分代数A^LおよびA^Rを導入する。これらは初期データに含まれないが、Δから自然に導かれる。
• 深さ2条件を用いる：ι×ῑ×ιがιの有限多重の直和成分であるならば、ある準基底{v_i}が存在し、∑(v_i × ι)∘U_{23}∘(v_i^* × ι) = ι×ῑ×ι を満たす。
• 双対代数Bとのペアリングを用いてA上の余乗法Δ_Aを構成し、すべてのセクターa∈ιに対してtr_a(z^{-2}) = d_a を満たすヘルミート的で可逆な要素z ∈ End(ι)を用いる。
• Δ_Aの乗法性がフォーク則(3.27)と等価であり、かつ準基底条件∑_i u_i^* z_1^{-2} U_{23} u_i = 1 がEnd(ι×ῑ×ι)で成り立つことと同値であることを証明する。ここで{u_i}はtr_M∘Ψ_12に関する正規直交基底である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半単純ホップ代数が次元の不一致により失敗する場合、非整数次元を有する融合則をカテゴリカル枠組みで実現できるか？
• RQ2 dim(D⊗D′) < dim D · dim D′ を許容するような代数的構造は何か？ これにより、このような融合則に対する一貫性のある表現理論が可能になる。
• RQ3 中心が有限次元である有限指数・深さ2のC*-代数の包含関係N ⊂ Mは、N = M^Aを満たすC*-弱ホップ代数Aの正規作用と同値か？
• RQ4 ペアリング要素zが余乗法Δ_Aを乗法的にするための条件は何か？ そして、これは準基底条件とどのように関係するか？
• RQ5 S²|_{A^L}（A^L上でのS²の自由度、すなわち非自明性）が物理的応用における深さ2包含には現れないのはなぜか？ その数学的意義は何か？

主な発見

• C*-弱ホップ代数は、dim(D⊗D′) ≤ dim D · dim D′ を許容することで、非整数次元を有する融合則の実現における障害を解消し、一貫性のある表現理論を可能にする。
• 再構成定理により、中心が有限次元である有限指数・深さ2のC*-代数の包含関係N ⊂ Mと、N = M^Aを満たすC*-弱ホップ代数Aの正規作用との間には一対一対応が存在する。
• 余乗法Δ_Aが乗法的であることは、かつそのときに限り、End(ι×ῑ×ι)で∑_i u_i^* z_1^{-2} U_{23} u_i = 1 を満たす準基底条件が成り立つことと同値であり、代数的構造とカテゴリカル的深さ2性質が結びつく。
• 要素z ∈ End(ι)は、すべてのセクターa∈ιに対してtr_a(z^{-2}) = d_a を満たす必要がある。zを符号の意味で中心的とすることで一貫性が保たれ、rigidityデータでは非中心的zを中心的にはできない。
• 得られるWHAPの標準的グロープライク要素g′_Lはz² = g′_Lを満たし、ペアリング要素と弱ホップ代数の代数的構造が結びつく。
• S²|_{A^L}における自由度（A^L上での反対合の平方の非自明性）は物理的深さ2包含には現れない。これは、物理的に関連するC*-弱ホップ代数はS²|_{A^L} = idを満たすものに限られる可能性を示唆している。