[論文レビュー] Weak model categories in classical and constructive mathematics

Simon Henry|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、ホモトピー理論の一般化された枠組みである「弱モデル圏」を導入する。これは、コクリーフィブな対象とファイブレーションの対象間の射に限定して、分解と挙上性質を要請する。この枠組みにより、ケン＝クイレン、ジョイアル＝ルリー、ヴェリティの古典的モデル構造および単体的複体や複体の複体の半単体的バージョンに対する構成的証明が可能となり、完全なクイレンモデル圏に比べて構成が著しく簡略化される。

ABSTRACT

We introduce a notion of "weak model category" which is a weakening of the notion of Quillen model category, still sufficient to define a homotopy category, Quillen adjunctions, Quillen equivalences and most of the usual construction of categorical homotopy theory. Both left and right semi-model categories are weak model categories, and the opposite of a weak model category is again a weak model category. The main advantages of weak model categories is that they are easier to construct than Quillen model categories. In particular we give some simple criteria on two weak factorization systems for them to form a weak model category. The theory is developed in a very weak constructive framework and we use it to produce, completely constructively (even predicatively), weak versions of various standard model categories, including the Kan-Quillen model structure, the variant of the Joyal model structure on marked simplicial sets, and the Verity model structure for weak complicial sets. We also construct semi-simplicial versions of all these.

研究の動機と目的

• ホモトピー圏やクイレンの随伴を定義するための、クイレンのモデル圏よりも弱く、構成的にアクセスしやすい枠組みを構築すること。
• ケン＝クイレン、ジョイアル＝ルリー、ヴェリティのモデル構造といった古典的モデル構造の構成的存在証明を、コクリーフィブおよびファイブレーションの対象に限定して行うこと。
• 左および右の半モデル圏を、本質的なホモトピー的構造を保ちつつ自己双対的な弱モデル圏という概念に一般化すること。
• 自然数対象と決定可能部分対象を用いた予言的で構成的な小さな対象の手続きを形式化し、効果的な構成を可能にすること。
• 標準的なモデル圏の半単体的バージョン（例：半単体的集合上）に対しても、この枠組みを拡張し、それらの構成を構成的に可能にすること。

提案手法

• コクリーフィブな始域とファイブレーションの終域を持つ射に制限された、2つの弱分解系を用いて弱モデル圏を定義し、すべての対象に対して完全な分解を避ける。
• 自然数対象とホモセット内の決定可能部分対象に基づいた構成的小さな対象の手続きを用い、分解を構築し、被覆射が非可換合成の再帰的再帰であることを証明する。
• 生成的被覆射の始域に関して、ホモ関手がℕ鎖の列挙と押し出しを保存し、押し出しによってホモセット内で補完可能モノモルフィズムが誘導されることを保証する。
• 集合体、複体の複体、単体的集合、マークド単体的集合、およびストラティファイド単体的集合などのカテゴリに対して、弱モデル構造を構築する。
• 弱モデル圏の反対圏が再び弱モデル圏であることを証明し、双対性を保ち、ホモトピー論の対称的取り扱いを可能にする。
• パラメータ付きリスト対象を備えたデカルト圏における小さな対象の手続きを形式化し、型理論的基礎における内部論理の形式化の可能性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー論の核心的構成（ホモトピー圏、クイレンの随伴、同値）を維持しつつ、構成的により容易に構築可能な、モデル圏の弱化された概念を定義できるか？
• RQ2 ケン＝クイレンやジョイアル＝ルリーのモデル構造といった古典的モデル構造が、コクリーフィブおよびファイブレーションの対象に限定して、構成的に存在することを証明できるか？
• RQ3 カテゴリとその弱分解系が、特に予言的で構成的な設定において、弱モデル圏を形成するための条件は何か？
• RQ4 小さな対象の手続きを、選択公理や非予言的構成に依存せずに、構成的に動作させるにはどうすればよいか？
• RQ5 半単体的集合上での標準的モデル構造（例：ケン＝クイレン、ジョイアル＝ルリー、ヴェリティ）の半単体的バージョンを、この枠組みを用いて構築できるか？

主な発見

• 弱モデル圏は左および右の半モデル圏を一般化しており、双対性に関して閉じており、弱モデル圏の反対圏が再び弱モデル圏であることが保証される。
• 弱モデル圏のホモトピー圏は、クイレンの構成と同様に、コクリーフィブでファイブレーションの対象間の弱同値を用いて定義できる。
• 決定可能な条件下で、小さな対象の手続きを用いて、単体的集合上のケン＝クイレンのモデル構造およびマークド単体的集合上のジョイアル＝ルリーのモデル構造の構成的証明が達成された。
• 弱複体的集合のヴェリティのモデル構造および複体の複体上の射影的モデル構造も、弱モデル圏として構成的に確立された。
• ケン＝クイレン、ジョイアル＝ルリー、ヴェリティのモデル構造の半単体的バージョンが構築され、この枠組みの単体的集合を超える適用可能性が示された。
• 小さな対象の手続きの「良い状況」、すなわちホモ関手が列挙を保存し、押し出しによって決定可能部分対象が誘導される場合、被覆射が生成的被覆射の押し出しの非可換合成の再帰的再帰であることが示され、標準的な代数的性質が構成的に正当化された。