[論文レビュー] Weak Multiplier Hopf Algebras. Preliminaries, motivation and basic examples

Alfons Van Daele, Shuanhong Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、群札の作用に基づく動機付けのもと、乗法的ホップ代数および弱ホップ代数の一般化として、弱乗法的ホップ代数を導入する。群札上の有限台付き複素数値関数からなる代数 $ A = K(G) $ を構成し、群札の積が定義されていない場合には消えるようなコプロダクトを用いる。主な貢献は、乗法的代数におけるコアソシエーションと拡張の一意性の確立であり、コプロダクトが恒等的関係を用いて $(\Delta \otimes \iota)\Delta = (\iota \otimes \Delta)\Delta$ を満たすことを示す。

ABSTRACT

Let $G$ be a {\it finite group}. Consider the algebra $A$ of all complex functions on G (with pointwise product). Define a coproduct $Δ$ on A by $Δ(f)(p,q)=f(pq)$ where $f\in A$ and $p,q\in G$. Then $(A,Δ)$ is a Hopf algebra. If $G$ is only a {\it groupoid}, so that the product of two elements is not always defined, one still can consider $A$ and define $Δ(f)(p,q)$ as above when $pq$ is defined. If we let $Δ(f)(p,q)=0$ otherwise, we still get a coproduct on $A$, but $Δ(1)$ will no longer be the identity in $A\ot A$. The pair $(A,Δ)$ is not a Hopf algebra but a weak Hopf algebra. If $G$ is a {\it group}, but {\it no longer finite}, one takes for $A$ the algebra of functions with finite support. Then $A$ has no identity and $(A,Δ)$ is not a Hopf algebra but a multiplier Hopf algebra. Finally, if $G$ is a {\it groupoid}, but {\it not necessarily finite}, the standard construction above, will give, what we call in this paper, a weak multiplier Hopf algebra. Indeed, this paper is devoted to the development of this 'missing link': {\it weak multiplier Hopf algebras}. We spend a great part of this paper to the motivation of our notion and to explain where the various assumptions come from. The goal is to obtain a good definition of a weak multiplier Hopf algebra. Throughout the paper, we consider the basic examples and use them, as far as this is possible, to illustrate what we do. In particular, we think of the finite-dimensional weak Hopf algebras. On the other hand however, we are also inspired by the far more complicated existing analytical theory. In forthcoming papers on the subject, we develop the theory further.

研究の動機と目的

• 非単位的かつ無限次元的な設定における乗法的ホップ代数および弱ホップ代数の一般化を構築すること。
• 積が部分的にしか定義されない群札に基づく構成を用いて、弱乗法的ホップ代数の概念を形式化すること。
• 乗法的代数におけるコアソシエーションおよび拡張の一意性といった基礎的性質を確立すること。
• 特に有限群札および集合への群作用から生じる具体例を通じて、公理の動機づけをすること。
• 今後の論文におけるソース/ターゲット写像、積分、双対性といった理論の基盤を築くこと。

提案手法

• 群札 $ G $ 上の有限台付き複素数値関数の代数 $ A = K(G) $ を構成し、$ G $ が無限である場合には非単位的である。
• コプロダクト $\Delta(f)(p,q) = f(pq)$ を定義し、$ pq $ が定義されている場合に限り、そうでない場合には 0 とする。この写像は $ A $ を乗法的代数 $ M(A \otimes A) $ に写す。
• 非単位的性質を特徴付けるために、$ M(A \otimes A) $ 内の冪等元 $ E = \Delta(1) $ を用い、すべての $ a \in A $ に対して $ E\Delta(a) = \Delta(a) = \Delta(a)E $ を満たすことを示す。
• 拡張の一意性を用いて、乗法的代数におけるコアソシエーションを示す。すなわち $(\Delta \otimes \iota)\Delta = (\iota \otimes \Delta)\Delta$ を証明する。
• $ (\Delta \otimes \iota)(E) = (\iota \otimes \Delta)(E) $ であり、この共通値は $ (E \otimes 1)(1 \otimes E) $ に等しいことから、$ E \otimes 1 $ と $ 1 \otimes E $ の可換性が示される。
• 乗法的代数の構造を用いて、$ A $ から $ M(A \otimes A \otimes A) $ への写像を拡張し、一貫性と一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的にしか定義されない群札の積から生じる非単位的かつ無限次元的な代数に対して、ホップ代数の理論をどのように拡張できるか。
• RQ2 乗法的ホップ代数および弱ホップ代数をより広い設定に一般化するのに、必要な十分な公理は何か。
• RQ3 コプロダクトが $ A \otimes A $ に値をとらない場合、乗法的代数におけるコアソシエーションはどのように成立するか。
• RQ4 冪等元 $ E = \Delta(1) $ は、コプロダクトの構造とその拡張を特徴付ける上で果たす役割は何か。
• RQ5 $ E \otimes 1 $ と $ 1 \otimes E $ が可換となる条件は何か。また、$(\Delta \otimes \iota)(E) = (E \otimes 1)(1 \otimes E)$ が成り立つ条件は何か。

主な発見

• コプロダクト $\Delta$ は $ A $ から $ M(A \otimes A) $ へのホモーレジズムであり、拡張の一意性を用いて、$ M(A) $ 上で $(\Delta \otimes \iota)\Delta = (\iota \otimes \Delta)\Delta$ が成り立つことが証明された。
• 冪等元 $ E = \Delta(1) $ は、すべての $ a \in A $ に対して $ E\Delta(a) = \Delta(a) = \Delta(a)E $ を満たし、弱乗法的構造を反映している。
• $ E \otimes 1 $ と $ 1 \otimes E $ は $ M(A \otimes A \otimes A) $ 内で可換であり、$(\iota \otimes \Delta)(E) = (1 \otimes E)(E \otimes 1)$ が成り立つ。これは、共通値が両方の下界において最大の冪等元であることを示している。
• $(\Delta \otimes \iota)(E) = (\iota \otimes \Delta)(E)$ が成り立つ。これは、拡張されたコプロダクトのコアソシエーションを証明するために不可欠である。
• 有限群札、集合への群作用、弱ホップ代数の具体例において、結果が一貫しており、公理が適切に動機づけられていることが確認された。
• $ E \otimes 1 $ と $ 1 \otimes E $ が可換でない、または $(\Delta \otimes \iota)(E)$ と $(E \otimes 1)(1 \otimes E)$ が異なる例は、知られていない。これは、これらの性質が構造そのものに内在している可能性を示唆している。