[論文レビュー] Weakly nonlocal continuum physics - the Ginzburg-Landau equation

P. Ván|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2002

Thermoelastic and Magnetoelastic Phenomena参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、弱い非局所的連続体力学におけるリウ手続きを用いて、熱力学的に一貫したギンツブルグ＝ランドウ方程式の導出を提示する。構成状態空間を空間勾配を含めるように拡張し、エントロピー不等式の制約を適用することで、変分原理に依存せずに方程式を導出する。これにより、第二法則に起因するその起源が確立され、再局所化可能な内部変数理論とは明確に区別される。

ABSTRACT

Some peculiarities of the exploitation of the entropy inequality in case of weakly nonlocal continuum theories are investigated and refined. As an example it is shown that the proper application of the Liu procedure leads to the Ginzburg-Landau equation in case of a weakly nonlocal extension of the constitutive space of the simplest internal variable theories.

研究の動機と目的

• 変分原理や恣意的な動的仮定に依存せずに、ギンツブルグ＝ランドウ方程式の熱力学的厳密な導出を確立すること。
• 内部変数に基づく再局所化可能な理論と、ギンツブルグ＝ランドウ方程式のような非再局所的でパターン形成を行う理論との明確な違いを明らかにすること。
• 空間微分の制約を追加の制約として扱うことで、リウ手続きを弱い非局所理論に拡張すること。
• 構成空間を一般化した場合に、ギンツブルグ＝ランドウ方程式がエントロピー不等式から自然に導かれる様子を示すこと。
• ファルカスの補題を用いた一般化されたリウの定理の形式を提示し、連続体力学におけるベクトル値制約に適用可能なものとする。

提案手法

• 構成関数とその空間微分を拡張された状態空間の一部として扱うことで、弱い非局所的連続体力学理論にリウ手続きを適用する。
• 勾配項を含む一般化されたエントロピー流を導入し、エントロピー生成不等式に非局所効果を組み込む。
• 動的制約の下でエントロピー生成の非負性を満たす必要十分条件をファルカスの補題を用いて導出する。
• 構成状態空間の勾配拡張に起因するテンソル値制約を扱うために、リウの定理のベクトル形式を適用する。
• 構成空間に秩序パラメータの空間勾配を含める場合、エントロピー不等式の解としてギンツブルグ＝ランドウ方程式を導出する。
• エントロピー不等式の構造を通じて、再局所化可能な理論（均一解）と非再局所的パターン形成理論（非均一解）を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギンツブルグ＝ランドウ方程式は、変分原理を用いずに、熱力学的原則から導出可能か？
• RQ2 空間勾配が構成状態空間に与える影響は、非局所的発展方程式を導出する上でどのような役割を果たすか？
• RQ3 制約の微分を考慮しなければならない弱い非局所理論において、リウ手続きはどのように適応されるか？
• RQ4 内部変数に基づく再局所化可能な理論はなぜパターン形成解を生成できないのか、ギンツブルグ＝ランドウ方程式とはどのように異なるか？
• RQ5 連続体力学におけるベクトル値制約へのリウの定理の拡張の数学的基盤は何か？

主な発見

• 構成状態空間に秩序パラメータの空間勾配を含める場合、ギンツブルグ＝ランドウ方程式はエントロピー不等式の解として導出され、変分原理を必要としない。
• ギンツブルグ＝ランドウ方程式の静的項は、事前に仮定されるのではなく、リウ手続きを通じて第二法則の結果として自然に出現する。
• 方程式は非再局所的である：非均一解がパターン形成を示すのに対し、内部変数に基づく再局所化可能な理論とは対照的である。
• 弱い非局所理論にリウ手続きを適用するには、発展方程式の微分を制約として扱う必要があり、これは局所理論とは明確な違いを示す。
• ファルカスの補題を用いて、テンソル値制約を扱える一般化されたベクトル形式のリウの定理を導出する。
• 本手法により、弱い非局所枠組みに拡張された場合、ギンツブルグ＝ランドウ方程式が一般の保存則および構成的構造と整合的であることが示された。