[論文レビュー] Weakly null sequences in the Banach space C(K)

I. Gasparis, Edward Odell+1 more|ArXiv.org|Feb 12, 2004

Advanced Banach Space Theory参考文献 28被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、可数コンパクト距離空間 $K$ における弱くゼロに収束する列のトランスフィニティ・正規化平均を用いたブロック基底の階層を導入し、そのような列が $c_0$ 基底と等価なブロック基底をもつための基準を確立する。主な結果は、可算 $K$ に対して $C(K)$ 内の任意の正規化された弱くゼロに収束する列が、このようなブロック基底をもつことである。これはシュレーマー型平均と順序数インデックスを用いた構成的・定量的な手法により、バナッハ空間論における長年の未解決問題を解決するものである。

ABSTRACT

The hierarchy of the block bases of transfinite normalized averages of a normalized Schauder basic sequence is introduced and a criterion is given for a normalized weakly null sequence in C(K), the Banach space of scalar valued functions continuous on the compact metric space K, to admit a block basis of normalized averages equivalent to the unit vector basis of c_0, the Banach space of null scalar sequences. As an application of this criterion, it is shown that every normalized weakly null sequence in C(K), for countable K, admits a block basis of normalized averages equivalent to the unit vector basis of c_0.

研究の動機と目的

• 可算コンパクト距離空間 $K$ に対して、$C(K)$ 内の弱くゼロに収束する列のトランスフィニティ・正規化平均を用いたブロック基底の階層を構築すること。
• 正規化された弱くゼロに収束する列が $c_0$ の単位ベクトル基底と等価なブロック基底をもつための、構成的かつ定量的な基準を提供すること。
• $C(\omega^{\omega^\xi})$ 空間におけるこのようなブロック基底の存在を、順序数インデックス $\alpha \leq \xi$ に対して明示的な制御を伴って解明すること。
• シュレーマー無条件性に関する先行結果の最適性を示すために、$C(\omega^{\omega^2})$ 内の列が $S_2$-無条件部分列をもたないことを示し、それによって既存の結果の鋭さを示すこと。

提案手法

• 順序数 $\alpha < \omega_1$ に対して、シュレーマー族 $S_\alpha$ を用いて、$\alpha$-平均の階層を定義し、それらを再帰的に用いて、以前の段階の結果からブロック基底を構築する。
• $C(K)$ 内の列に対する $S_\xi$-無条件性を定義し、シュレーマー集合の構造を用いて平均の振る舞いを制御する。
• サポートの木構造に対するコンパクト性の議論を適用し、ある $\eta > \alpha$ に対して、サポートの初期部分集合の族が $S_\eta$ に属するような部分列 $Q$ を抽出することで、構造的制御を達成する。
• $(\epsilon, \alpha, \beta)$-分解と平均の $(\eta,1,\epsilon)$-大きさを用いて、$\xi^Q > \eta$ を仮定すると矛盾が生じることを示し、これによりインデックスの上限を得る。
• ある $t \in K$ における点ごとの推定に基づく背理法を用い、正規化された $\zeta$-平均 $u$ に対して $|u(t)| < 21\epsilon$ が成り立つことを示し、$\epsilon$ が十分に小さいとき $\|u\| = 1$ に矛盾することを導く。
• 文献[31]および[21]の結果を応用し、サポートの遺伝的かつコンパクトな族を抽出し、順序数インデックス理論を用いて、$\xi \leq \eta$ に対して $\xi$-平均の $c_0$-同型ブロック基底の存在を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算 $K$ に対して、$C(K)$ 内の正規化された弱くゼロに収束する列が、$c_0$ 基底と等価なブロック基底をもつための条件は何か？
• RQ2 $K = \omega^{\omega^\xi}$ のとき、このようなブロック基底の存在が順序数インデックス $\xi$ に対してどのように定量的に記述できるか？
• RQ3 $C(\omega^{\omega^2})$ 内で $S_2$-無条件性が失敗することは最適であり、それは $c_0$-同型ブロック基底の存在とどのように関係するか？
• RQ4 $C(\omega^{\omega^\xi})$ 内の $c_0$-飽和性の存在証明を、正規化平均と順序数階層を用いて構成的に行うことは可能か？
• RQ5 シュレーマー族 $S_\alpha$ は、$C(K)$ 空間内の弱くゼロに収束する列の構造を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 可算 $K$ に対して、$C(K)$ 内の任意の正規化された弱くゼロに収束する列は、$K = \omega^{\omega^\xi}$ のとき $\alpha \leq \xi$ となるような正規化された $\alpha$-平均のブロック基底をもち、その基底は $c_0$ の単位ベクトル基底と等価である。
• 本稿は、[35]における存在証明を越えて、このような $c_0$-同型ブロック基底の存在に対する構成的かつ定量的な基準を提供する。
• $C(\omega^{\omega})$ 内の任意の正規化された弱くゼロに収束する列は、$S_1$-無条件性を用いたより単純な証明により無条件部分列をもつことが示される。
• $C(\omega^{\omega^2})$ 内の弱くゼロに収束する列の例として、無条件部分列をもたないものが存在し、さらに $S_2$-無条件部分列をもたないことが示され、これにより先行研究の結果の鋭さが裏付けられる。
• 任意の正規化された弱くゼロに収束する列 $C(\omega^{\omega^\xi})$ に対して、$\alpha \leq \xi$ となるような正規化された $\alpha$-平均のブロック基底が $c_0$-同型に存在し、そのインデックス $\alpha$ は順序数構造により明示的に上限が与えられる。
• 点 $t \in K$ における点ごとの推定に基づく背理法により、$\xi^Q > \eta$ を仮定すると、正規化平均 $u$ に対して $|u(t)| < 21\epsilon$ が成り立ち、$\epsilon$ が十分に小さいとき $\|u\| = 1$ に矛盾する。