[論文レビュー] Weakly PIC1 manifolds with maximal volume growth

Fei He, Man-Chun Lee|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、最大体積成長を示す完全な弱いPIC1リーマン多様体が $ℝ^n$ に微分同相であることを確立する。曲率推定と注釈半径の制御を用いたリッチフローを用いて、フローの長時間存在を証明し、時間パrameter化された微分同相写像による指数写像の変形によって、ユークリッド空間へのグローバルな微分同相写像を構成する。

ABSTRACT

In this article we use Ricci flow to show that complete PIC1 manifolds with maximal volume growth are diffeomorphic to $\mathbb{R}^n$. One of the key ingredients is local estimates of curvature lower bounds on an initial time interval of the Ricci flow. As another application of these estimates we obtain pseudolocality type results related to the PIC1 condition.

研究の動機と目的

• 完全な弱いPIC1多様体が最大体積成長を示す場合、$ℝ^n$ に微分同相であることを証明すること。
• 弱いPIC1多様体のリッチフローの初期時間区間における局所的曲率下界を確立すること。
• 初期球でのPIC1条件と体積下界の下で、擬局所型の結果を導出すること。
• 最大体積成長が、弱いPIC1多様体上のリッチフローの長時間存在を保証すること。
• 時間パrameter化された変形を用いて指数写像を変形することで、$M$ から $\mathbb{R}^n$ へのグローバルな微分同相写像を構成すること。

提案手法

• 完全な弱いPIC1多様体にリッチフローを適用し、局所的曲率推定を用いた短時間存在性を活用する。
• 局所化された最大値原理を用いて曲率の下界を導出し、リッチフロー下での弱いPIC1条件の保存を保証する。
• 初期球でほぼユークリッド的体積であり、PIC1曲率が下から有界であると仮定して、擬局所型結果（定理3.1）を確立する。
• 最大体積成長が、$|Rm|(t) \leq C_0/t$ および $\mathrm{inj}_{g(t)} \to \infty$ を満たすリッチフローの長時間存在を示す。
• 時間パrameter化された微分同相写像による逆指数写像の変形を用いて、$M$ から $\mathbb{R}^n$ への微分同相写像を構成する。
• 注釈半径が増加する時刻の列 $t_i$ を用いて、入れ子になった球上で一致するように帰納的に微分同相写像を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大体積成長を示す弱いPIC1多様体が $\mathbb{R}^n$ に微分同相であることが示せるか？
• RQ2 完全な弱いPIC1多様体上のリッチフローの長時間存在を保証するには、どのような曲率推定が必要か？
• RQ3 曲率下界の代わりに体積下界が与えられた場合、PIC1条件の下で擬局所型の結果を確立できるか？
• RQ4 最大体積成長は、リッチフローに沿って注釈半径が無限大に発散することを保証するか？
• RQ5 これらの曲率および体積条件の下で、指数写像から $\mathbb{R}^n$ へのグローバルな微分同相写像を構成できるか？

主な発見

• 完全な弱いPIC1多様体が最大体積成長を示す場合、$\mathbb{R}^n$ に微分同相である。
• このような多様体上のリッチフローはすべての時間にわたって存在し、ある $C_0 > 0$ に対して $|Rm|(t) \leq C_0/t$ および $\mathrm{inj}_{g(t)} \geq \sqrt{C_0 t}$ を満たす。
• 局所化された最大値原理を用いて初期時間区間における局所的曲率下界を確立し、リッチフロー下での弱いPIC1条件の保存を保証する。
• 初期球がほぼユークリッド的体積であり、PIC1曲率が下から有界であると仮定して、擬局所型結果を証明する。
• 微分同相写像の構成は、入れ子になった球上で一致するように保つ時間パrameter化された微分同相写像による逆指数写像の変形に依存する。
• 従来の研究を改善し、グローバルな有界曲率仮定を、時間スライスにおける局所的曲率および体積条件に緩和する。