[論文レビュー] Wealth distribution: To be or not to be a Gamma?

Mehdi Lallouache, Aymen Jedidi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2010

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、グローバルセービングプロパENSITYを持つ運動論的交換モデルにおける富分布がガンマ分布に従うという広く引用されている仮定に挑戦する。モーメント解析と積分方程式技法を用いて、分布がガンマでないことを証明し、低富における挙動の上界を導出し、ゼロに近い富の領域でガンマ分布とは異なり、非ガンマ的かつ非パワー則的減衰を示す。

ABSTRACT

We review some aspects, especially those we can tackle analytically, of a minimal model of closed economy analogous to the kinetic theory model of ideal gases where the agents exchange wealth amongst themselves such that the total wealth is conserved, and each individual agent saves a fraction (0 < lambda < 1) of wealth before transaction. We are interested in the special case where the fraction lambda is constant for all the agents (global saving propensity) in the closed system. We show by moment calculations that the resulting wealth distribution cannot be the Gamma distribution that was conjectured in Phys. Rev. E 70, 016104 (2004). We also derive a form for the distribution at low wealth, which is a new result.

研究の動機と目的

• グローバルセービングプロパENSITYを持つ閉鎖経済における定常状態の富分布がガンマ分布に従うという仮説を厳密に検証すること。
• 先行研究で提唱されたガンマ分布仮説を支持する解析的モーメント計算が妥当かどうかを調査すること。
• 低富における富分布の解析的上界を導出すること。ここではガンマ分布が予想される乖離が生じる。
• ゼロに近い富の領域における分布の関数的形を明確にし、低富領域におけるガンマフィットの妥当性に疑問を呈すること。

提案手法

• 定常状態の富分布に対するモーメント計算を実施し、ガンマ分布と整合するかを検証する。
• 定数セービングプロパENSITY λ を持つ取引ルールに基づき、分布関数 f(x) に対するフォッカー・プランク型積分方程式を導出する。
• 確率的割合 ε についての統合を施し、f(x) と 1/(x_i + x_j) を含む畳み込みに簡略化する。
• δ関数およびヘヴィサイドのステップ関数を用いて、x_i および x_j の積分領域を定義する制約を適用する。
• 得られた不等式に対して反復的バウンディング技法を適用し、x → 0 のときの f(x) の上界を導出する。
• 漸近的解析と変数スケーリングを用いて、f(x) が x → 0 で O(x^α exp[−β(log x)^2]) のように減衰することを示し、β > 0 である。これはガンマ分布の減衰と矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルセービングプロパENSITYモデルにおける定常状態の富分布は正確にガンマ分布に従うか？
• RQ2 低富における富分布の解析的形は何か？ そしてガンマ分布とはどのように異なるか？
• RQ3 モーメントに基づく解析は、このモデルにおけるガンマ分布が正確な解であることを排除できるか？
• RQ4 x がゼロに近づくとき、f(x) の有効な上界を示す関数的形は何か？
• RQ5 ゼロに近い富における減衰行動は、ガンマ分布のパワー則的または指数的減衰と比べてどう異なるか？

主な発見

• モーメント計算により、分布の3次および4次モーメントがガンマ分布のそれと一致しないことが判明し、仮説が否定された。
• ガンマ分布は低富における減衰が速すぎるため、分布がガンマでないことが示された。
• x → 0 のときの f(x) の解析的上界として、f(x) = O(x^α exp[−β(log x)^2]) が導出され、β > 0 である。これは任意のパワー則より速い減衰を示唆する。
• 低富における導出された関数的形はガンマ分布と不一致であり、ガンマ分布は x^{n-1}exp(−nx/⟨x⟩) のように減衰し、より遅い減衰を示す。
• 結果として、中程度の富の値では数値的フィットが類似しているものの、分布がガンマでないことが確認された。
• 閉形式の積分方程式の解は未解決のままであるが、有効な上界が導出された。