[論文レビュー] Wegner estimate and Anderson localization for random magnetic fields

Laszlo Erdoes, David Hasler|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意のスケールで短いスケールのフーリエモードを持つ、正の下限を持つ空間的に定常な確率的磁場を有する2次元のランダム磁場シュレーディンガー作用素に対して、Wegner推定とアンドリュー局在性を確立する。著者らは、ゼロフラックス条件を必要としない任意のエネルギーにおけるWegner推定を証明するための新規な手法を開発し、制限的なフラックス仮定なしに、このようなモデルにおけるスペクトル下端での局在性の初の証明を可能にした。

ABSTRACT

We consider a two dimensional magnetic Schroedinger operator with a spatially stationary random magnetic field. We assume that the magnetic field has a positive lower bound and that it has Fourier modes on arbitrarily short scales. We prove the Wegner estimate at arbitrary energy, i.e. we show that the averaged density of states is finite throughout the whole spectrum. We also prove Anderson localization at the bottom of the spectrum.

研究の動機と目的

• ゼロフラックスに制限されない空間的に定常な確率的磁場を有するランダム磁場シュレーディンガー作用素に対するWegner推定を確立すること。
• 従来のアンドリュー局在性の証明に必要とされた、局所的に消える磁場フラックスという技術的仮定を排除すること。
• 外部ポテンシャルが決定論的で、磁場のみが確率的であるようなこのクラスのモデルに対して、スペクトル下端でのアンドリュー局在性を証明すること。
• スペクトルの任意のエネルギーに適用可能な、平均密度の状態を評価する新しい手法を開発すること。これは、決定論的スペクトルから離れた領域に限らない。
• 今後の研究で概説される、i.i.d. 確率的フラックスを格子のプレチケットに持つ離散磁場シュレーディンガー作用素への結果の拡張の基盤を提供すること。

提案手法

• 空間的に定常な確率的磁場 $ B_\omega(x) = \sum_{z \in \mathbb{Z}^2} \omega_z u(x - z) $ を導入する。ここで $ \omega_z $ はi.i.d.な確率変数であり、$ u $ は減衰するベクトル場であり、磁場が短スケールのフーリエモードを持つことを保証する。
• 期待される固有値の数がスペクトル区間 $ I $ に対して $ C(L)|I| $ で抑えられることを示す、新規なアプローチによりWegner推定を証明する。ここで $ C(L) $ は $ L $ の高いが普遍的なべき乗として増加し、スペクトル内のすべてのエネルギーに対して有効である。
• 複素平面におけるリゾルベントの解析的接続を、指数的重み $ e^{i\alpha\rho} $（$ \rho(x) = (1 + |x|^2)^{1/2} $）を用いて行い、リゾルベントの減衰推定を得る。
• 補助関数を用いて、磁場勾配 $ \nabla_A u $ の $ L^2 $ ノルムを $ u $ と源項 $ g $ の $ L^2 $ ノルムで制御する磁場勾配推定（補題B.1）を確立する。
• 確率的磁場のエルゴード性とトレースのユニタリ不変性を用いて、有限体積からのWegner推定を全スペクトルへ拡張する。
• Wegner推定を用いて、リゾルベントの減衰推定とスペクトルギャップの議論を組み合わせ、固有関数の指数的減衰を示すことにより、スペクトル下端での局在性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼロフラックスに制限されない空間的に定常な確率的磁場を有するランダム磁場シュレーディンガー作用素に対して、Wegner推定を確立できるか？
• RQ2 磁場フラックスが局所的に消えることを要求しない条件下でも、このようなモデルにおけるスペクトル下端でのアンドリュー局在性は可能か？
• RQ3 ベクトルポテンシャルが非局所的で、ハミルトニアンが定常でない場合、標準的な局在性証明手法をどのように適応できるか？
• RQ4 Wegner推定のスペクトル区間長 $ |I| $ と系サイズ $ L $ に対する最適な依存関係は何か？また、スペクトル全体にわたって一様に保証できるか？
• RQ5 この新規な手法は、格子のプレチケットにi.i.d.確率的フラックスを持つ離散磁場シュレーディンガー作用素へ拡張可能か？

主な発見

• Wegner推定は、決定論的スペクトルから離れた領域に限らず、スペクトル内のすべてのエネルギーに対して成り立つ。スペクトル区間 $ I $ 内の期待固有値数は $ C(L)|I| $ で抑えられ、ここで $ C(L) $ は $ L $ の高いが普遍的なべき乗である。
• 平均密度の状態はスペクトル全体で有限であり、特異連続スペクトルの不在を確認し、統合密度の状態の存在を支持する。
• 決定論的外部ポテンシャルと空間的に定常な確率的磁場を有する連続的ランダム磁場シュレーディンガー作用素に対して、スペクトル下端でのアンドリュー局在性が証明された。
• 局在性の証明は、新規なWegner推定とリゾルベントの指数的減衰に依存し、減衰率は $ \exp\left(-\sqrt{\eta/2}\, l/4\right) $ である。ここで $ \eta = \text{dist}(E, \inf \sigma(H_\Lambda)) $ である。
• 非局所的ベクトルポテンシャルによるハミルトニアンの非定常性という技術的障壁を乗り越え、ゼロフラックス条件なしに初めての局在性証明を可能にした。
• この手法は離散系へ一般化可能であり、プレチケットにi.i.d.確率的フラックスを持つ格子モデルに対しても、Wegner推定と局在性が成立すると予想され、今後の研究で詳細に示されている。