[論文レビュー] Weight distributions of six families of 3-weight binary linear codes.

Fei Li|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二進体における重要な指数和に関する誤りを是正し、修正された和を用いて、正確に3つの重みを持つ6つの二進線形符号族を構成する。これらの符号の重み分布を完全に特定し、多くの場合、最適な性質を有するため秘密分散方式への適用に適している。

ABSTRACT

The linear codes with a few weights have been applied widely in combinatorial designs, secret sharing, association schemes, authentication codes and strongly regular graphs. In this paper, we first correct an erroneous result about the exponential sum $\sum_{x\in \mathbb{F}_{2^{e}}}\chi_1\left(ax^{2^{\alpha}+1}+bx ight).$ Then, using the above exponential sum, we construct several families of binary linear codes of $3$-weight and determine their weight distributions. Moreover, Most of them can be used in secret sharing schemes.

研究の動機と目的

• 二進体 𝔽_{2^e} における指数和 ∑_{x∈𝔽_{2^e}} χ₁(ax^{2^α+1} + bx) に関する以前の誤った結果を是正すること。
• 是正された指数和を活用して、正確に3つの非ゼロ重みを持つ新しい二進線形符号族を構成すること。
• 暗号および組合せ論的応用のため、これらの3重み符号の重み分布を完全に特定すること。
• 構成された符号の構造的性質に基づき、秘密分散方式への適用に適しているかどうかを特定すること。

提案手法

• 有限体理論および指標和技法を用いて、指数和 ∑_{x∈𝔽_{2^e}} χ₁(ax^{2^α+1} + bx) の再評価と是正を行う。
• 是正された指数和を基盤とするツールとして用い、正確に3つの非ゼロ重みを持つ新しい二進線形符号を定義・生成する。
• 𝔽_{2^e} 上のトレース関数および二次形式の性質を適用し、構成された符号の重み分布を分析・計算する。
• 指標和恒等式および指数和の上限を用いて、重み列挙多項式の正当性を検証し、分布の正しさを保証する。
• 双対符号および最小距離の性質を分析し、秘密分散応用への適性を評価する。
• パラメータ α と e、および定義指数 2^α + 1 の構造に基づき、構成された符号を6つの異なる族に分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 a, b ∈ 𝔽_{2^e} に対して、指数和 ∑_{x∈𝔽_{2^e}} χ₁(ax^{2^α+1} + bx) の正しい評価は何か？
• RQ2 是正された指数和をどのように用いて、正確に3つの非ゼロ重みを持つ二進線形符号を構成できるか？
• RQ3 6つの構成された族にわたる、結果として得られる3重み符号の完全な重み分布は何か？
• RQ4 構成された符号のうち、どの符号が秘密分散方式への実装に適している性質を有しているか？
• RQ5 パラメータ α と e は、符号の重み分布および暗号的有用性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、指数和 ∑_{x∈𝔽_{2^e}} χ₁(ax^{2^α+1} + bx) の以前の誤った評価を特定し是正し、正確な閉形式の式を提示した。
• 是正された和を用いて、正確に3つの非ゼロ重みを持つ6つの新しい二進線形符号族を成功裏に構成した。
• 6つの符号族すべての完全な重み分布が明示的に特定され、それらの誤り訂正および暗号的性質の完全な特徴づけが可能になった。
• 重み列挙多項式はトレースおよび指標和技法を用いて導出され、3重み構造の正当性が確認された。
• 多くの構成された符号が、最適な重み分布および双対符号の性質を有するため、秘密分散方式への適用に適していることが示された。
• 結果から、α と e の選択が、符号の重み分布および実用的暗号システムにおける適用可能性に顕著に影響することが明らかになった。