[論文レビュー] Weight structures and motives; comotives, coniveau and Chow-weight spectral sequences, and mixed complexes of sheaves: a survey

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本調査は、三角カテゴリにおけるt-構造の双対的対応としての重み構造を確立し、モチビックホモトピー理論における重み複体、重みフィルトレーション、およびスペクトル系列の構成フレームワークを提供する。主な貢献は、ヴォエバドスキーのモチーフ、コモチーフ、混合層に重み構造を体系的に応用し、コンアイエュのスペクトル系列とアティヤ＝ヒルツブルフのスペクトル系列を統一し、有限次元性およびモチービックコホモロジーに関する新たな知見を可能にすることにある。

ABSTRACT

This is a survey of author's results on weight structures and Voevodsky's motives. Weight structures are natural counterparts of t-structures (for triangulated categories) introduced by the author. They allow to construct weight complexes, weight filtrations, and weight spectral sequences for various cohomology theories. Partial cases of the latter are: 'classical' weight spectral sequences (for singular and etale cohomology), coniveau spectral sequences, and Atiyah-Hirzebruch spectral sequences. All of those are mentioned in the current paper. The details, proofs, and several more results could be found in other papers of the author (cited here). We also mention a certain triangulated category of comotives that contains reasonable (co)motives for all function fields (and also of other projective limits of smooth varieties).

研究の動機と目的

• 三角カテゴリにおけるt-構造の双対的対応としての重み構造の理論を発展・体系化すること。
• 重み構造をヴォエバドスキーのモチーフおよびコモチーフに応用し、重みフィルトレーションおよびスペクトル系列の新たな構成を可能にすること。
• 古典的スペクトル系列（コンアイエュ、アティヤ＝ヒルツブルフ、チャウ-重み）を共通の枠組みで統一すること。
• モチーブの有限次元性およびモチービックカテゴリの構造への応用を検討すること。

提案手法

• 拡張および直和成分について閉じた全部分カテゴリによって定義される、三角カテゴリ上の重み構造の導入。
• 重み複体関手を用いた重み複体の構成；これは有理数係数モチーブに対しては保存的かつテンソル正確である。
• $DM^{c}(S)$、$DSH$、$D^b_{m}(X,Q_l)$ などのモチービックカテゴリに重み構造を適用し、コホモロジー上の重みフィルトレーションを導出。
• 重み分解および切り捨ての関手的性質を用い、重み正確関手を通じてモチービックコホモロジーと$Q_l$-アーベル的コホモロジーを関連付ける。
• ブリラショナルスライスからのグルーピング技術を応用し、相対モチーブおよび混合層に重み構造を構成。
• 有理数重み複体関手$t_{Q}$が保存的かつテンソル正確であることを示し、モチーブの有限性基準を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴォエバドスキーのモチーブおよびコモチーフに重み構造を体系的に応用することで、既存のスペクトル系列をどのように統一できるか？
• RQ2 重み正確関手は、モチービックコホモロジーと$Q_l$-アーベル的コホモロジーをどのように関連付けるか？
• RQ3 有限体上の多様体に対して、$DM^{c}(S)$における重み構造が$DSH$における整合性のある重みフィルトレーションを誘導するか？
• RQ4 重み構造が、特にアフィン多様体およびその超平面切断に対して、モチーブの有限次元性をどの程度支援するか？
• RQ5 混合層およびモチービックカテゴリにおける重み構造は、モチービックt-構造およびコンアイエュのフィルトレーションとどのように関係するか？

主な発見

• 有理数重み複体関手$t_{Q}$は保存的かつテンソル正確であるため、モチーブ$M$がキムーラ有限であることは、$t_{Q}(M)$が有限であることと同値である。
• 有限体上の多様体上の$DSH$の任意の対象は、$F$-重み構造のハートに属する因子を持つ重みポストニコフタワーをもつため、コホモロジー上の重みフィルトレーションが存在する。
• モチービック実現関手$H$は重み正確であるため、$H^*(H(M))$上のチャウ-重みフィルトレーションは$DSH$上の$w_{DSH}$-フィルトレーションと一致し、モチービックおよび$Q_l$-アーベル的フィルトレーションを統一する。
• 次元$n$の滑らかでアフィンな$X$とその一般超平面切断$Y$に対して、複体$M = (Y o X)$は$H_{et}^n(M_{ar k})$以外に非ゼロコホモロジーを持たず、$M[-n]$が偶数次元的有限であることを示唆する。
• 適切なモチービックt-構造の存在は、モチービックコホモロジーにおける弱いレフシェッツ定理を意味し、このような$M$のキムーラ有限性を支持する。
• すべてのsuch$M$が数的にキムーラ有限であるならば、$H$のエタールコホモロジーの保存的性質から、$operatorname{Mot_{num}}$はタンナキアンである。