[論文レビュー] Weight zero part of the first cohomology of complex algebraic varieties

Morihiko Saito|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複素代数的多様体の第一 rational 有理コホモロジーの重み 0 部分が位相的不変量であることを確立し、その次元について明示的な位相的および層論的公式を提供する。$ W_0H^1(X,\bbQ) $ とコホモロジー写像の核との間の自然同型を証明し、正規化と構成可能層 $ \fc_X $ を用いた次元公式を提示する。

ABSTRACT

We show that the weight 0 part of the first cohomology of a complex algebraic variety $X$ is a topological invariant, and give an explicit description of its dimension using a topological construction of the normalization of $X$, where $X$ can be reducible, but must be equidimensional. The first assertion is known in the $X$ compact case by A. Weber, where intersection cohomology is used. Note that the weight 1 or 2 part of the first cohomology is not a topological (or even analytic) invariant in the non-compact case by Serre's example.

研究の動機と目的

• 複素代数的多様体の第一 rational 有理コホモロジーの重み 0 部分が位相的不変量であることを確立すること。
• 等次元的かつ非特異な複素代数的多様体について、$ \text{dim } W_0H^1(X,\bbQ) $ の明示的な位相的および層論的記述を提供すること。
• 混合 Hodge 理論と正規化理論を用いて、N. Budur が提起した $ W_0H^1(X,\bbQ) $ の位相的不変性に関する問いを解決すること。
• コンパクトな場合に既知の結果を一般化し、非コンパクトかつ非既約な多様体へと拡張すること。

提案手法

• 正規化準同型 $ \tilde{X} \to X $ のマッピングコーン構成から生じる混合 Hodge 構造の長い完全系列を用い、$ H^0(X, \fc_X) $、$ H^0(X,\bbQ) $、$ H^0(\tilde{X},\bbQ) $、および $ H^1 $ 項を含む自然完全系列を導出する。
• 特異点の解消からのコホモロジーへの引き戻しの単射性を用いて、$ H^1(\tilde{X},\bbQ) $ が重み 0 でないことを証明する。
• 正規化のコホモロジーから交差コホモロジーへの自然な準同型 $ H^1(\tilde{X},\bbQ) \to \text{IH}^1(X,\bbQ) $ の単射性を確立する。
• 混合 Hodge モジュール理論を用いて、$ \fc_X = \text{Coker}(\bbQ_X \to \tilde{\bbQ}_{\tilde{X}}) $ が重み 0 を持つことを示す。
• 完全系列と重みの考察を経て、次元公式 $ \text{dim } W_0H^1(X,\bbQ) = \text{dim } H^0(X,\fc_X) - b_0(\tilde{X}) + b_0(X) $ を導出する。
• 完全分岐な巡回被覆を用いた例を構成し、非自明なモノドロミーと正規化における非有理的層の存在を説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトかつ非既約な場合であっても、複素代数的多様体の第一コホモロジーの重み 0 部分が位相的不変量であるか。
• RQ2 $ W_0H^1(X,\bbQ) $ の次元は、正規化と特異点集合の位相的不変量で表現可能か。
• RQ3 正規化写像の cokernel として定義される構成可能層 $ \fc_X $ は、コホモロジー上の重みフィルトレーションとどのように関係するか。
• RQ4 交差コホモロジーと混合 Hodge 構造は、$ W_0H^1(X,\bbQ) $ を特徴付ける上で果たす役割は何か。
• RQ5 制限により $ \text{dim } H^0(X,\fc_X) $ が厳密に増加するような明示的例は構成可能か。その場合、多様体の位相的性質にどのような含意があるか。

主な発見

• $ W_0H^1(X,\bbQ) $ は、$ \tilde{X} $ を $ X $ の正規化として、$ H^1(X,\bbQ) \to H^1(\tilde{X},\bbQ) $ の写像の核と自然同型である。
• また、$ H^1(X,\bbQ) \to \text{IH}^1(X,\bbQ) $ の核とも同型であり、$ W_0H^1(X,\bbQ) $ が交差コホモロジーに現れないコホモロジー的データを捉えていることを示している。
• $ \text{dim } W_0H^1(X,\bbQ) $ の次元は $ \text{dim } H^0(X,\fc_X) - b_0(\tilde{X}) + b_0(X) $ で与えられ、完全に位相的な公式である。
• $ \fc_X $ は非一意分岐部分に台を持つが、重み 0 を持つ。これは重みフィルトレーション分解において本質的である。
• 曲線の場合、$ \text{dim } \fc_{X,x} = r_{X,x} - 1 $ が成り立ち、$ r_{X,x} $ は点 $ x $ における局所的既約成分の数を表す。これは曲線の場合の公式の妥当性を確認する。
• 例により、$ \text{dim } H^0(X,\fc_X) $ がより小さい開部分集合への制限によって厳密に増加することが示され、重み 0 コホモロジーの局所的でない性質を示している。