[論文レビュー] Weighted Besov and Triebel--Lizorkin spaces associated to operators

Huy‐Qui Bui, Anh Tuan Bui+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、同型空間上における非負自己共役作用素 $L$ とガウス型熱核評価の下で、重み付きBesov空間およびTriebel-Lizorkin空間を構築する。連続的特徴づけ、原子的分解、古典的関数空間との同定を確立し、$0 < p,q \leq \infty$、$\alpha \in \mathbb{R}$、$w \in A_\infty$ の全域において、分数乗根およびスペクトル乗数の有界性を証明する。主な貢献は、指数および重みの全範囲において、古典的関数空間を作用素設定に一般化する統一的理論を構築したことである。

ABSTRACT

Let $X$ be a space of homogeneous type and $L$ be a nonnegative self-adjoint operator on $L^2(X)$ satisfying Gaussian upper bounds on its heat kernels. In this paper we develop the theory of weighted Besov spaces $\dot{B}^{α,L}_{p,q,w}(X)$ and weighted Triebel--Lizorkin spaces $\dot{F}^{α,L}_{p,q,w}(X)$ associated to the operator $L$ for the full range $0

研究の動機と目的

• 同型空間上における非負自己共役作用素の設定に、BesovおよびTriebel-Lizorkin空間の理論を拡張すること。
• 重み付きバージョンのこれらの関数空間を、$0 < p,q \leq \infty$、$\alpha \in \mathbb{R}$、$w \in A_\infty$ の全域において開発すること。
• 連続的特徴づけ、原子的分解、およびHardy、BMO、Sobolev空間などの古典的関数空間との同定を確立すること。
• 分数乗根およびラプラス変換型のスペクトル乗数が、新しい関数空間において有界であることを証明すること。

提案手法

• 関数 $\mathscr{S}_m(\mathbb{R})$ を用いたCalderón再構成公式を用いて、新しい関数空間を定義・特徴づける。
• 熱核 $p_t(x,y)$ に対するガウス型上界を応用し、カーネル推定および最大関数の評価を導出する。
• 指数の全域をカバーするための、作用素 $L$ に適した新しい分布のクラスを導入する。
• Lusin関数およびスペクトル射影を用いたLittlewood-Paley理論と平方関数による特徴づけを適用する。
• $A_\infty$ 重みに対する重み付きノルム不等式、特にFefferman-Steinの不等式を用いる。
• 作用素 $L$ に適した分子を用いたdyadic分解を用いて、原子的分解を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負自己共役作用素 $L$ に関連する重み付きBesovおよびTriebel-Lizorkin空間を、$0 < p,q \leq \infty$ の全域において、どのように定義・特徴づけることができるか。
• RQ2 新しい関数空間が、$L^p_w$、Hardy、BMO、Sobolev空間などの古典的関数空間と一致する条件は何か。
• RQ3 分数乗根 $L^{s/2}$ がこれらの新しい関数空間上でどのように有界であるか。
• RQ4 ラプラス変換型のスペクトル乗数 $\tilde{m}(L)$ は、新しい関数空間上でどのように作用するか。
• RQ5 追加の正則性仮定なしに、ガウス型熱核評価のみを満たす一般の作用素に対しても、理論を拡張できるか。

主な発見

• 重み付きBesov空間 $\dot{B}^{\alpha,L}_{p,q,w}(X)$ は、平方関数による連続的特徴づけを有し、Calderón再構成公式によって定義されるノルムと同値である。
• $\dot{B}^{\alpha,L}_{p,q,w}(X)$ および $\dot{F}^{\alpha,L}_{p,q,w}(X)$ に対して、$L$ に適したキャンセルおよびサイズ条件を満たす原子による原子的分解が確立された。
• $\dot{F}^{\alpha,L}_{p,q,w}(X)$ は、$p \leq 1$ のとき重み付きHardy空間 $H^p_{L,w}(X)$ と一致し、$p = \infty$ のとき重み付きBMO空間 $\text{BMO}_{L,w}(X)$ と一致する。
• 分数乗根 $L^{s/2}$ は、$\dot{B}^{\alpha+s,L}_{p,q,w}(X)$ を $\dot{B}^{\alpha,L}_{p,q,w}(X)$ に有界に写像する。同様にTriebel-Lizorkin空間に対しても成り立つ。
• ラプラス変換型のスペクトル乗数 $\tilde{m}(L)$ は、$0 < p < \infty$、$0 < q \leq \infty$ のとき $\dot{F}^{\alpha,L}_{p,q,w}(X)$ 上で有界であり、$0 < p,q \leq \infty$ のとき $\dot{B}^{\alpha,L}_{p,q,w}(X)$ 上でも有界である。
• 理論は、多項式成長を示すLie群上のsub-Laplacian や、特定のRiemann多様体上のLaplace-Beltrami作用素など、広範な作用素のクラスに適用可能であり、ガウス型熱核評価のみを仮定すれば十分である。