[論文レビュー] Weighted Hardy spaces associated to operators and boundedness of singular integrals

The Anh Bui, Xuan Thinh Duong|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 24被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、空間の同次型における非負自己随伴作用素 $L$ に関連する $0 < p \leq 1$ のための重み付きハーディー空間 $H^p_{L,w}(X)$ を導入し、ガウス型熱核境界ではなく弱いデイヴィス＝ガフニー推定を仮定した場合の特性を明らかにする。原子的および分子的分解を確立し、一般化されたリーマン変換およびスペクトル乗数の有界性を証明する。これは、Muckenhoupt 重みを用いたより広範な幾何的・解析的設定への既存結果の拡張を実現する。

ABSTRACT

Let $(X, d, μ)$ be a space of homogeneous type, i.e. the measure $μ$ satisfies doubling (volume) property with respect to the balls defined by the metric $d$. Let $L$ be a non-negative self-adjoint operator on $L^2(X)$. Assume that the semigroup of $L$ satisfies the Davies-Gaffney estimates. In this paper, we study the weighted Hardy spaces $H^p_{L,w}(X)$, $0 &lt; p \le 1$, associated to the operator $L$ on the space $X$. We establish the atomic and the molecular characterizations of elements in $H^p_{L,w}(X)$. As applications, we obtain the boundedness on $\HL$ for the generalized Riesz transforms associated to $L$ and for the spectral multipliers of $L$.

研究の動機と目的

• 空間の同次型上での $0 < p \leq 1$ の範囲にわたり、重み付きハーディー空間 $H^p_{L,w}(X)$ の理論を拡張すること。
• 従来の研究で用いられていた強いガウス型熱核境界の仮定を、より弱いデイヴィス＝ガフニー推定に置き換えること。
• 原子的および分子的分解を重み付き設定で可能にするために、新しい重み付きテント空間の理論を構築すること。
• 特に対応するリーマン変換およびスペクトル乗数を含む特異積分作用素が $H^p_{L,w}(X)$ 上で有界であることを証明すること。
• ユークリッド空間からの結果を、ダブリング測度と $A_1$ 重みを備えた距離測度空間へ一般化すること。

提案手法

• 作用素 $e^{-tL}$ と重み付きテント空間を用いた面積積分ノルムにより $H^p_{L,w}(X)$ を定義する。
• 作用素 $L$ および重み $w$ に適合した新しい重み付きテント空間を導入し、これは原子的分解において中心的な役割を果たす。
• 波動方程式の有限伝搬速度およびスペクトル論を用いて作用素 $F(\sqrt{L})$ を分析する。
• dyadic 分解とカーネル推定を用いて $(M,p,w,\epsilon)$-分子を構成することで、原子的分解を確立する。
• ミンコフスキーの不等式および重み付きノルム推定を用いて、環状領域 $S_k(B)$ 上の $L^2$-ノルムを制御する。
• Lemma 4.11（$F(2^j\sqrt{L})g$ の $L^2$-減衰）を活用し、$W^2_s$-正則性の下でスペクトル乗数ノルムを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間の同次型上での $0 < p \leq 1$ に対して、重み付きハーディー空間 $H^p_{L,w}(X)$ を定義し、特徴づけることは可能か？
• RQ2 ガウス型熱核境界ではなく、デイヴィス＝ガフニー推定の下でも、$H^p_{L,w}(X)$ の原子的および分子的分解は成立するか？
• RQ3 磁気シュレーディンガー作用素に関連する一般化されたリーマン変換は、$H^p_{L,w}(X)$ 上で有界か？
• RQ4 非滑らかな関数 $F$ に対して、スペクトル乗数 $F(L)$ が $H^p_{L,w}(X)$ 上で有界となる条件は何か？
• RQ5 $A_1$ および逆 Hölder 重みは、この設定における作用素論とどのように相互作用するか？

主な発見

• 本稿では、作用素 $L$ および重み $w$ に適合した $L^2$-サイズおよびキャンセレーション条件を満たす原子を用いた $H^p_{L,w}(X)$ の原子的分解を確立した。
• 適切な仮定の下で、一般化されたリーマン変換 $\nabla L^{-1/2}$ が $H^p_{L,w}(X)$ から古典的重み付きハーディー空間 $H^p_w(X)$ への有界作用素であることを証明した。
• 関数 $F$ が $\sup_{t>0}\|\eta(\cdot)F(t\cdot)\|_{W^2_s} \leq C_\eta$ を満たし、$s > \frac{n(2-p)}{2p} + \frac{1}{2}$ かつ $\eta \in C_c^\infty(\frac{1}{2},2)$ である場合、スペクトル乗数 $F(L)$ は $H^p_{L,w}(X)$ 上で有界である。
• $F(L)$ の有界性は、$L^2$-ノルムにおける環状領域での減衰推定に依拠し、$\beta > 0$ および $\gamma > 1/2$ の下で Lemma 4.11 を用いることで示された。
• 証明により、$r_B^{2l} \sum_{j \geq j_0} \|F_j(\sqrt{L})b_1\|_{L^2(S_k(B))} \leq C 2^{-k\epsilon} r_B^{2M} V(2^k B)^{1/2} w(2^k B)^{-1/p}$ が成り立つことが示された。ここで $\epsilon = s' - \frac{n(2-p)}{2p}$ である。
• 重み $w \in A_1 \cap RH_{\frac{2}{2-p}}$ の仮定のもとで、重み付き推定に十分な正則性が保証されるため、結果は成り立つ。