[論文レビュー] Weighted compactifications of configuration spaces and relative stable degenerations

Evangelos Routis|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異点のない多様体 $X$ 上の $n$ 個の相異なるラベル付き点の配置空間の重み付きコンパクト化 $X_{/mathcal{A}}[n]$ を導入する。これは、点の重み $a_i \in (0,1]$ を組み込んだファルティング＝マクフィアソンコンパクト化の一般化である。構成は、重みの和が 1 を超える対角線に沿った反復的ブロー・アップであり、滑らかな多様体で、その境界除数は正規交叉をなす。この構成により、相対的安定退化の枠組みが得られ、反復的ブロー・アップの公式を用いたチャウ環の表現が可能になる。

ABSTRACT

We study a compactification of the configuration space of n distinct labeled points on an arbitrary nonsingular variety. Our construction provides a generalization of the original Fulton-MacPherson compactification that is parallel to the generalization of the moduli space of n-pointed stable curves carried out by Hassett.

研究の動機と目的

• ファルティング＝マクフィアソンコンパクト化を、点の重み $a_i \in (0,1]$ を組み込むことで一般化し、重み付き配置のモジュライ理論的枠組みを拡張すること。
• 重みの和が任意の一致点の部分集合 $S$ に対して $\sum_{i \in S} a_i \leq 1$ を満たす $n$ 個のラベル付き点の配置空間 $F_{\mathcal{A}}(X,n)$ の滑らかなコンパクト化 $X_{\mathcal{A}}[n]$ を構成すること。
• 元の $X[n]$ コンパクト化を一般化する相対的構成を提供し、相対的 $\mathcal{A}$-安定退化のモジュライ空間を得ること。
• 反復的ブロー・アップの公式とチエーン多項式の関係を用いて、$X_{\mathcal{A}}[n]$ のチャウ環の完全な記述を提示すること。

提案手法

• 重み付きコンパクト化 $X_{\mathcal{A}}[n]$ を、$\mathcal{G}_{\mathcal{A}}$ に属する対角線 $\Delta_I$ に対して、$X^n \times \prod_{\Delta_I \in \mathcal{G}_{\mathcal{A}}} \mathrm{Bl}_{\Delta_I} X^n$ への対角埋め込みの閉包として定義する。ここで $\mathcal{G}_{\mathcal{A}}$ は $\sum_{i \in I} a_i > 1$ を満たす対角線の集合である。
• 重み付き対角線 $\mathcal{G}_{\mathcal{A}}$ の支配的変換に沿った $X^n$ の反復的ブロー・アップとして $X_{\mathcal{A}}[n]$ を構成し、次元が小さい順に順序づける。
• ケルの公式を用いて反復的ブロー・アップのチャウ環を扱い、$A^\bullet(X_{\mathcal{A}}[n])$ を $A^\bullet(X^n)[\{\Delta_I^{(I_j)}\}_{i \leq j}]$ の商として、特定のイデアル関係による商として得る。
• 境界除数が正規交叉除数であることを示し、$\sum_{i \in I} a_i > 1$ を満たす部分集合 $I \subset N$ によって添字づけられる成分 $D_I$ を持つ。また、交わりは横断的かつネストされた関係にあることを示す。
• 普遍族 $X_{\mathcal{A}}[n]^+ \to X_{\mathcal{A}}[n]$ が平坦で、滑らかな多様体間の写像であることを示し、モジュライ理論的解釈を可能にする。
• チエーン多項式の恒等式 $P_{\Delta_I/X^n}(t) = \prod_{k=1}^{|I|-1} c_{i_k,i_{k+1}}(-t)$ を用いて、チャウ環の計算における関係式を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファルティング＝マクフィアソンコンパクト化は、特異点のない多様体上の点の重み付き配置をどのように一般化できるか？
• RQ2 重み付きコンパクト化 $X_{\mathcal{A}}[n]$ の境界除数の構造は何か？境界成分が交わる条件は何か？
• RQ3 反復的ブロー・アップの公式とチエーン類の関係を用いて、$X_{\mathcal{A}}[n]$ のチャウ環を明示的に表現できるか？
• RQ4 相対的構成 $X_{\mathcal{A}}[n]$ は、元の $X[n]$ コンパクト化をどのように一般化し、相対的 $\mathcal{A}$-安定退化のモジュライ空間をどのように得るか？
• RQ5 重み付きコンパクト化と genus 0 のアッセットのモジュライ空間 $\overline{M}_{g,\mathcal{A}}$ の関係は何か？

主な発見

• 重み付きコンパクト化 $X_{\mathcal{A}}[n]$ は滑らかな多様体であり、境界は $|\mathcal{G}_{\mathcal{A}}|$ 個の既約除数 $D_I$ の和で表され、$\sum_{i \in I} a_i > 1$ を満たす部分集合 $I \subset N$ によって添字づけられる。
• 境界除数は横断的に交わる。また、$D_{I_1} \cap \cdots \cap D_{I_k}$ が空でないのは、集合 $I_j$ がネストされている（つまり、互いに素であるか、一方が他方を含む）場合に限る。
• $X_{\mathcal{A}}[n]$ は、$\mathcal{G}_{\mathcal{A}}$ に属する対角線の支配的変換に沿った $X^n$ の反復的ブロー・アップと同型である。このとき、次元が小さい順に順序づけられる。
• チャウ環 $A^\bullet(X_{\mathcal{A}}[n])$ は、$A^\bullet(X^n)[\{\Delta_I^{(I_j)}\}_{i \leq j}]$ の商として、重なりを持つ集合、$J_I$-関係、弱い重なり、チエーン多項式を含む4種類の関係式によって生成されるイデアルによる商として記述される。
• 各対角線 $\Delta_I \subset X^n$ のチエーン多項式は、$P_{\Delta_I/X^n}(t) = \prod_{k=1}^{|I|-1} c_{i_k,i_{k+1}}(-t)$ を満たし、チャウ環の関係式を簡略化する。
• この構成により、元のファルティング＝マクフィアソン空間 $X[n]$ から $X_{\mathcal{A}}[n]$ への双有理写像が、ブロー・アップの系列によって得られ、アッセットの重み付きモジュライ空間を任意の基本多様体に一般化する。