[論文レビュー] Compactifications of the universal Jacobian over curves with marked points

Margarida Melo|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、固定されたベクトル bundle に関して安定な torsion-free 秩1層を用いて、標識付き安定曲線のモジュライスタック上の普遍ヤコビスタックのモジュラー的コンパクト化を構成する。主な貢献は、射影的粗モジュライ空間を備え、忘却写像および接合写像、さらに安定曲線のモジュライスタックからの切断を備えた、一意的で滑らかで、Deligne-Mumford型の、コンパクト化された普遍ヤコビスタックの族の構成である。

ABSTRACT

We construct modular compactifications of the universal Jacobian stack over the moduli stack of reduced curves with marked points depending on stability parameters obtained out of fixing a vector bundle on the universal curve. When restricted to the locus of stable marked curves, our compactifications are Deligne-Mumford irreducible smooth stacks endowed with projective moduli spaces and, following Esteves approach to the construction of fine compactifications of Jacobians, they parametrize torsion-free rank-1 simple sheaves satisfying a stability condition with respect to the fixed vector bundle. We also study a number of properties of our compactifications as the existence of forgetful and clutching morphisms and as well of sections from the moduli stack of stable curves with marked points. We conclude by indicating a number of different possible applications for our constructions.

研究の動機と目的

• 標識付き安定曲線のモジュライスタック上の普遍ヤコビスタックの、適切でモジュラーなコンパクト化を構成すること。
• 従来の構成の限界、例えば非-Deligne-Mumfordスタックや、切断や接合写像といった幾何的構造の欠如を克服すること。
• Estevesのヤコビのファインコンパクト化へのアプローチを、標識付きの普遍的設定に一般化すること。
• コンパクト化された普遍ヤコビに於けるタウトロジカルクラスや幾何的不変量を研究するための枠組みを提供すること。
• 層の安定性条件を用いた、コンパクト化された普遍ヤコビのモジュラー的記述を確立すること。

提案手法

• 普遍曲線上に固定されたベクトルバンドルを用いて、torsion-free 秩1層の安定性条件を定義する。
• 削ぎ落としのない曲線のモジュライスタック上での単純層のスタックを構成し、値の評価の基準を用いて代表可能性と固有性を保証する。
• Estevesのファインコンパクト化法を普遍ヤコビ設定に適用し、得られるスタックが Deligne-Mumford 型で滑らかであることを保証する。
• コンパクト化された普遍ヤコビから安定曲線のモジュライスタックへの忘却写像の存在を確立する。
• ノードを持つ曲線の上でのコンパクト化ヤコビを接合する接合写像を構成する。
• 安定曲線のモジュライスタックからコンパクト化された普遍ヤコビスタックへの切断の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標識付き安定曲線のモジュライスタック上の普遍ヤコビは、モジュラー的で幾何的に意味のある方法でコンパクト化可能だろうか？
• RQ2 標識付き特異曲線の族に対して、秩1層の安定性条件をどのように拡張できるか？
• RQ3 このようなコンパクト化で保たれる幾何的構造（切断、忘却写像、接合写像など）は何か？
• RQ4 コンパクト化された普遍ヤコビが Deligne-Mumford 型のまま、射影的粗モジュライ空間を備えることができるか？
• RQ5 固定されたベクトルバンドルの選択が、得られるコンパクト化およびそのモジュライ解釈にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 標識付き削ぎ落としのない曲線のモジュライスタック上での単純層のスタックは代数的であり、固有性の値の評価の基準の存在部分を満たす。
• 安定曲線に制限した場合、コンパクト化された普遍ヤコビスタックは、Deligne-Mumford 型で、一意的かつ滑らかで、射影的粗モジュライ空間を備える。
• コンパクト化された普遍ヤコビスタックは、普遍曲線上の固定されたベクトルバンドルに関して安定な torsion-free 秩1単純層をパラメトライズする。
• コンパクト化された普遍ヤコビから安定曲線のモジュライスタックへの忘却写像が存在し、適切に振る舞う。
• ノードを持つ曲線の上での接合写像を構成可能であり、コンパクト化ヤコビを接合することができる。
• 安定曲線のモジュライスタックからコンパクト化された普遍ヤコビスタックへの切断が存在し、普遍曲線のモジュラー的上昇を提供する。