[論文レビュー] Weighted K-stability of polarized varieties and extremality of Sasaki manifolds

Vestislav Apostolov, David M. J. Calderbank+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 69被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、Lahdiliの重み付きK安定性枠組みをSasaki幾何に拡張することで、正規型のコンpakトSasaki多様体に対する相対的重み付きK安定性の概念を導入する。重み付きK安定性が極値Sasaki計量の存在に関して最大トーラスに関して必要条件であることを確立し、特定のテスト配置において重み付きK安定性と極小化されたアフィン錐のK安定性の同値性を示し、スカラー曲率が0のKähler錐計量の存在に対する既存の障害を強化する。

ABSTRACT

We use the correspondence between extremal Sasaki structures and weighted extremal Kahler metrics defined on a regular quotient of a Sasaki manifold, established by the first two authors, and Lahdili's theory of weighted K-stability in order to define a suitable notion of (relative) weighted K-stability for compact Sasaki manifolds of regular type. We show that the (relative) weighted K-stability with respect to a maximal torus is a necessary condition for the existence of a (possibly irregular) extremal Sasaki metric. We also compare weighted K-stability to the K-stability of the corresponding polarized affine cone (introduced by Collins-Szekelyhidi), and prove that they agree on the class of test configurations we consider. As a byproduct, we strengthen the obstruction to the existence of a scalar-flat Kahler cone metric from the K-semistability to the K-stability on these test configurations. We use our approach to give a characterization of the existence of a compatible extremal Sasaki structure on a principal circle bundle over an admissible ruled manifold, expressed in terms of the positivity of a single polynomial of one variable over a given interval.

研究の動機と目的

• 正規型のコンパクトSasaki多様体に対して、Lahdiliの理論を用いて適切な（相対的）重み付きK安定性の概念を定義すること。
• 極値Sasaki計量の存在に関して、最大トーラスに関する重み付きK安定性が必要条件であることを示すこと、不規則な場合でさえも同様に成り立つこと。
• Sasaki多様体の重み付きK安定性と、Collins–Székelyhidiが定義した関連極小化アフィン錐のK安定性を比較すること。
• 考察されたテスト配置のクラスにおいて、重み付きK安定性とアフィン錐のK安定性が同値であることを証明すること。
• この枠組みを通じて、スカラー曲率が0のKähler錐計量の存在に対する障害をK半安定性からK安定性へ強化すること。

提案手法

• 最初の2名の著者が以前に確立した、Sasaki多様体の正規商における極値Sasaki構造と重み付き極値Kähler計量との対応関係を活用する。
• Lahdiliの重み付きK安定性理論を応用し、Sasaki多様体の正規商を介して重み付きK安定性条件をSasaki多様体に定義する。
• Sasaki多様体上のトーラス作用に関連する接触Futaki不変量 $\mathrm{Fut}_K$ を導入し、CSC Sasaki構造が存在する場合にはその値が0になることを示す。
• モーメンタム写像の解釈と $L^2$-内積 $\langle\!\!\langle \cdot, \cdot \rangle\!\!\rangle_\sigma$ を用いて、極値ベクトル場 $K_{\mathrm{ext}}$ と定数 $c_K$ を定義する。
• Sasaki多様体とその関連アフィン錐 $(V,J,K)$ の間の対応関係に依拠し、代数的幾何的手法を用いてK安定性条件を転送する。
• Sasaki側の重み付きK安定性条件と極小化アフィン錐のK安定性を比較し、考察されたテスト配置において両者が一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規型のコンパクトSasaki多様体に対して、意味的に適切な重み付きK安定性の概念を定義できるか？
• RQ2 最大トーラスに関する重み付きK安定性は、極値Sasaki計量の存在に関して必要条件か？
• RQ3 Sasaki多様体における重み付きK安定性は、関連極小化アフィン錐のK安定性とどのように関係するか？
• RQ4 この枠組みを通じて、スカラー曲率が0のKähler錐計量の存在に対する障害をK半安定性からK安定性へ強化できるか？
• RQ5 接触Futaki不変量 $\mathrm{Fut}_K$ は、CSC Sasaki構造の存在を妨げる要因として果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、Lahdiliの枠組みを用いて、正規型のコンパクトSasaki多様体に対して（相対的）重み付きK安定性の概念を定義する。
• 最大トーラスに関する重み付きK安定性が、極値Sasaki計量の存在に関して必要条件であることが示され、不規則な場合でも同様に成り立つ。
• 考察されたテスト配置のクラスにおいて、Sasaki多様体の重み付きK安定性と関連極小化アフィン錐のK安定性が一致する。
• スカラー曲率が0のKähler錐計量の存在に対する障害が、これらのテスト配置においてK半安定性からK安定性へ強化される。
• 接触Futaki不変量 $\mathrm{Fut}_K$ が定義され、$\mathbb{T}$-不変な適切なCR構造の空間において複素構造に依存しないことが示され、CSC Sasaki計量の存在に対する必要条件を提供する。
• 準正則な場合、$\mathrm{Fut}_K$ がLahdiliの研究における重み付きFutaki不変量と一致することが示され、Kähler側との整合性が確認される。