[論文レビュー] Weighted thermodynamic formalism and applications

Julien Barral, De‐Jun Feng|ArXiv.org|Sep 23, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 45被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、符号的力学系における漸近的部分加法的ポテンシャルに対して、重み (a,b) を用いて系の力学とその因子写像の両方を考慮する重み付き位相的圧力によって定義される重み付き熱力学形式を導入する。主な貢献は、有界歪み条件下での重み付き変分原理、一意性、およびギブズ性の確立であり、これにより非共形設定におけるバーキホフ平均の多分形解析と不変集合の次元推定が可能になる。

ABSTRACT

Let $(X,T)$ and $(Y,S)$ be two subshifts so that $Y$ is a factor of $X$. For any asymptotically sub-additive potential $Φ$ on $X$ and $\ba=(a,b)\in\R^2$ with $a>0$, $b\geq 0$, we introduce the notions of $\ba$-weighted topological pressure and $\ba$-weighted equilibrium state of $Φ$. We setup the weighted variational principle. In the case that $X, Y$ are full shifts with one-block factor map, we prove the uniqueness and Gibbs property of $\ba$-weighted equilibrium states for almost additive potentials having the bounded distortion properties. Extensions are given to the higher dimensional weighted thermodynamic formalism. As an application, we conduct the multifractal analysis for a new type of level sets associated with Birkhoff averages, as well as for weak Gibbs measures associated with asymptotically additive potentials on self-affine symbolic spaces.

研究の動機と目的

• 古典的熱力学形式を非共形系、特に自己同型な符号的空間に拡張する重み付き熱力学形式を構築すること。
• 古典的熱力学形式が非共形不変集合や測度の幾何的性質を捉えることができないという限界を克服すること。
• 系の力学とその因子写像の両方を組み込むa-重み付きエントロピーを用いた変分原理を確立すること。
• 有界歪みを満たすほぼ加法的ポテンシャルに対して、重み付き平衡状態の一意性とギブズ性を証明すること。
• 本フレームワークを用いて、自己同型設定におけるバーキホフ平均の等値集合および不変部分集合のハウスドルフ次元を計算すること。

提案手法

• 因子写像 $ \pi $ を用いて、不変測度の上での $ \Phi_*(\eta) + a h_\eta(T) + b h_{\eta \circ \pi^{-1}}(S) $ の上限として、a-重み付き位相的圧力 $ P^{{\bf a}}(T,\Phi) $ を定義する。
• a-重み付きエントロピー $ h^{{\bf a}}_\mu(T) = a h_\mu(T) + b h_{\mu \circ \pi^{-1}}(S) $ を定義し、系とその因子のエントロピーを統合する。
• ほぼ加法的ポテンシャルの有界歪み性質を用いて、円柱集合測度の漸近的挙動を制御する。
• エルゴード測度に対して、Ledrappier-Young型の公式 $ \dim_H \nu = h^{{\bf a}}_\nu(T) $ を適用し、次元と重み付きエントロピーの関係を確立する。
• 近似測度の列と準ベルヌーイ性質を用いて、近似ポテンシャルから極限ポテンシャルへのギブズ性を拡張する。
• 重み付き圧力関数 $ P^{{\bf a}}(T, q\phi) $ のLegendre変換を導出し、多分形レベル集合のハウスドルフ次元を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的形式が失敗する非共形力学において、重み付き熱力学形式を構築できるか？
• RQ2 a-重み付き圧力は、重み付きエントロピーとポテンシャル平均を結ぶ変分原理を満たすか？
• RQ3 有界歪みを満たすほぼ加法的ポテンシャルに対して、a-重み付き平衡状態は一意的かつギブズ的か？
• RQ4 重み付き圧力関数 $ P^{{\bf a}}(T, q\phi) $ は $ q $ に関して微分可能か？これによりLegendre変換の手法が適用可能か？
• RQ5 不変測度の一般点の集合のハウスドルフ次元は何か？また、a-重み付きエントロピーとどう関係するか？

主な発見

• a-重み付き位相的圧力 $ P^{{\bf a}}(T,\Phi) $ は変分原理を満たす。すなわち、すべての不変測度 $ \eta $ に対して $ \Phi_*(\eta) + a h_\eta(T) + b h_{\eta \circ \pi^{-1}}(S) $ の上限に等しい。
• 1ブロック因子写像を伴うフルシフト上での有界歪みを満たすほぼ加法的ポテンシャルに対して、a-重み付き平衡状態は一意的であり、ギブズ性を満たす。
• 重み付き圧力関数 $ P^{{\bf a}}(T, q\phi) $ は $ q $ に関して微分可能であり、多分形解析におけるLegendre変換の手法が適用可能になる。
• レベル集合 $ \{ x : \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \phi(T^i x) = t \} $ のハウスドルフ次元は、$ P^{{\bf a}}(T, q\phi) $ のLegendre変換によって与えられる。
• 任意のエルゴード測度 $ \nu $ に対して、ハウスドルフ次元は $ \dim_H \nu = h^{{\bf a}}_\nu(T) $ を満たす。これは重み付き設定におけるLedrappier-Young型の公式を確立する。
• 不変測度 $ \mu $ の一般点の集合のハウスドルフ次元に対する鋭い下界は $ h^{{\bf a}}_\mu(T) $ であり、この下界は達成される。