[論文レビュー] Weights for relative motives; relation with mixed sheaves

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、基底スキーム $S$ 上のベイリンソン・モチーフの圏にチャウ重み構造を導入し、混合層類似の関手的性質を確立するとともに、$K^b(Chow(S))$ への正確かつ忠実な重み複体関手を可能にする。Grothendieckの $S$-モチーフの $K_0$-群が $K_0(Chow(S))$ に同型であることを証明し、モチーフ的オイラー特徴を定義し、相対的重み構造の新規な形式的枠組みを通じて、整数的モチーフコホモロジーおよび混合層の重みと関連するチャウ-重みスペクトル系列を構成する。

ABSTRACT

The main goal of this paper is to define the so-called Chow weight structure for the category of Beilinson motives over any 'reasonable' base scheme $S$ (this is the version of Voevodsky's motives over $S$ defined by Cisinski and Deglise). We also study the functoriality properties of the Chow weight structure (they are very similar to the well-known functoriality of weights for mixed complexes of sheaves). As shown in a preceding paper, the Chow weight structure automatically yields an exact conservative weight complex functor (with values in $K^b(Chow(S))$). Here $Chow(S)$ is the heart of the Chow weight structure; it is 'generated' by motives of regular schemes that are projective over $S$. Besides, Grothendiek's group of $S$-motives is isomorphic to $K_0(Chow(S))$; we also define a certain 'motivic Euler characteristic' for $S$-schemes. We obtain (Chow)-weight spectral sequences and filtrations for any cohomology of motives; we discuss their relation to Beilinson's 'integral part' of motivic cohomology and to weights of mixed complexes of sheaves. For the study of the latter we introduce a new formalism of relative weight structures.

研究の動機と目的

• 合理的な基底スキーム $S$ 上のベイリンソン・モチーフの圏に、モチーフへの重み理論の拡張を図るチャウ重み構造を定義すること。
• 混合複体の層の重み類似の関手的性質を有するチャウ重み構造の関手的性質を確立すること。
• $Chow(S)$ が重み構造のハートであるとして、$K^b(Chow(S))$ に値をとる正確かつ忠実な重み複体関手を構成すること。
• Grothendieckの $S$-モチーフの $K_0$-群が $K_0(Chow(S))$ に自然に同型であることを示し、$K$-理論と重み構造のハートを結びつけること。
• $S$-スキームのためのモチーフ的オイラー特徴を定義し、チャウ-重みフィルトレーションがベイリンソンのモチーフコホモロジーの「整数的部品」とおよび混合層の重みと関係することを明らかにすること。

提案手法

• チャウ重み構造を、$S$ にモノリシックに射影的な正則 $S$-スキームをハート $Chow(S)$ の生成子として用いることで、$S$ 上のベイリンソン・モチーフの圏に定義する。
• 重み構造の形式的枠組みを用いて、有界ホモトピー圏 $K^b(Chow(S))$ への重み複体関手を構成し、正確性と忠実性を保証する。
• 基底変換およびプッシュフォワード／プルバック操作におけるチャウ重み構造の関手的性質を確立し、混合層の重み類似の性質を再現する。
• 混合複体の層の重みとモチーフの関連を分析するため、相対的重み構造の新規な形式的枠組みを導入する。
• 任意のモチーフのコホモロジーに対してチャウ-重みスペクトル系列を構成し、重み構造を通じて整数的モチーフコホモロジーに結びつける。
• $Chow(S)$ の $K_0$-群を用いて、$S$-スキームのためのモチーフ的オイラー特徴を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底スキーム $S$ 上のベイリンソン・モチーフの圏に、どのようにチャウ重み構造を定義できるか。また、その関手的性質は何か。
• RQ2 $S$-モチーフのGrothendieck群と、チャウ重み構造のハート $Chow(S)$ の $K_0$-群との関係は何か。
• RQ3 モチーフのためのチャウ-重みスペクトル系列は、ベイリンソンのモチーフコホモロジーの「整数的部品」とどのように関係するか。
• RQ4 混合複体の層の重みは、モチーブのチャウ重み構造とどのように関係するか。
• RQ5 相対的重み構造の形式的枠組みは、モチーブと混合層の両方の重みの研究を統合するためにどのように利用できるか。

主な発見

• 基底スキーム $S$ 上のベイリンソン・モチーフのチャウ重み構造は、$S$ にモノリシックに射影的な正則 $S$-スキームによって生成されるハート $Chow(S)$ を用いて、$K^b(Chow(S))$ への正確かつ忠実な重み複体関手を誘導する。
• Grothendieckの $S$-モチーフの $K_0$-群は $K_0(Chow(S))$ に自然に同型であり、重み構造のハートの $K$-理論的実現を提供する。
• $S$-スキームのためのモチーフ的オイラー特徴は、重み構造を用いて定義され、古典的オイラー特徴をモチーフ的設定に一般化する。
• 任意のモチーブのコホモロジーに対してチャウ-重みスペクトル系列が構成され、ベイリンソンの「整数的部品」のモチーフコホモロジーに結びつける。
• 相対的重み構造の形式的枠組みにより、混合複体の層の重みとモチーブの重みとの系統的比較が可能になる。
• チャウ重み構造の関手的性質は、混合層の重み類似のものと一致し、モチーブ的および層論的重み理論の深い類似性を支持する。